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inasignable, y como corresponde al radio vector nulo, no podrá ha- 

 ber unión en el origen. Tampoco la habrá cuando iv = 0, porque en- 

 tonces p = cx5 , las ramas se reunirían en un punto infinitamente leja- 

 no, lo que equivale á decir que no se reúnen nunca. 



— El ángulo que forma la tangente con el radio polar es dado por la 



fórmula tg . V = -'- = = — w. 



do a 



— La tangente á la curva en el punto correspondiente á ^ = es pa- 

 ralela al eje, pero como este valor corresponde á dos puntos infini- 

 tamente lejanos, á la altura a, se deduce que una paralela al eje, 

 trazada á la distancia a es asíntota de la curva. 



— La subtangente 



5, = p . tg . F = ü> = — a. 



w 



Es, pues, constante. 



— El área de la curva comprendida entre dos radios dirigidos según 

 los ángulos Wq y w es : 





J^ ]_ 



ir ir,, 



Si se hace, por ejemplo, iv = 7i y 9 = co, se tendrá para el área 

 comprendida entre el eje polar prolongado á la izquierda del polo y 



el polo mismo, el valor a^, que resta finito, aunque el radio 



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polar haga una infinidad de vueltas. 



Traxado.— Para, construirla espiral por puntos, tomemos la lon- 

 gitud a por unidad , y con este radio se describe una circunferencia 

 que tenga el centro en el origen, tendremos uno de los puntos en 



que corta al eje imaginario haciendo w = — ; el radio vector co- 

 rrespondiente tendrá por longitud — , y será el cuarto término de 



la proporción 



— :a: : 1:E, 



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