Espirales. — 434 — 



Si se gira al eje polar un ángulo a , esta ecuación será 



o'= — ae \ - / 



' 711 



y determinando a por la condición — e"' ' i "/=1 que nos da 



m 



,71 \ r A "^ ^^ 

 mi — — a. \ = Lm o a = 



2 / '2 m 



se encontraría para la ecuación del lugar de los puntos T la misma 

 ecuación de la logarítmica primitiva. 



Lo propio se demostraría para la sub-normal, cuya expresión es: 



S„ = p .cot.V= mre'"''. 

 — El valor del radio de curvatura será 



este resultado nos dice, que si se dirige la normal del punto ií y se 

 la termina en el punto N en que encuentra la perpendicular al radio 

 vector, el ángulo OAíNserk el complemento de p y tendrá, por conse- 

 cuencia, por tangente, m; MN será, por tanto, p yl + wi^, de donde 

 se deduce que en la espiral logarítmica el centro de curvatura es 

 el extremo de la subnormal. 



— La evoluta de esta curva es otra curva igual á la propuesta, aun- 

 que diferentemente situada. En efecto, la ecuación del lugar de los 

 puntos iV" es : 



me '"(6"--írl 



p =mp = mae ^ mae ^ - -'. 



Su rectificación será dada por la integración de la diferencial 



d'i = — \/2ft2e2me ¿ ¿Q —\/2 . e^Vo, cuya integral es — y 2 



me 



e ; 

 m ni 



