— 437 — 



Espirales. 



Esta curva se denomina también helixoidal. 



Ecuación. — Llamando x á un radio vector Am, v al arco de círculo 



correspondiente BC y p &\ parámetro de la parábola, la naturaleza 



B de esta curva estará expresada por la ecuación 



x^ = pv. 



Espiral sinusoidal. — Las diferentes espirales 

 de esta clase tienen por ecuación 



Figura 8. 



mp™ = a"* sen . m . iv, 



(a) 



igualdad que representa, para algunos valores particulares de m, 

 curvas que nos son conocidas. 



Si m == -r-, la curva es una cardioidea cuyo círculo generador tiene 



un radío igual á a. Si m = 2, se obtiene una lemniscata, cuyos focos 

 están situados en la intersección de la primera bisetriz , y del circulo 

 concéntrico al origen, que tiene un radio igual á a. 



Las curvas que corresponden á la ecuación {a) gozan de una pro- 

 piedad notable, que permite construirles muy fácilmente la tan- 

 gente en un punto tomado en ellas. 



En efecto ; se tiene 



y, por consiguiente , 



fórmula que nos da 



mp'" ip'= a'" eos . w . w, 



-^ = tg . V = tg . m . iv, 



V=m . w ^ Ki^. 



El ángulo V, siendo el ángulo de dos semi-rectos, es siempre infe- 

 rior á 7t, y se tiene, por último, 



V = m . IV. 



Se deduce de aquí, entre otras consecuencias, que en la cardioi- 

 dea , una cuerda que pasa por el punto doble y la tangente á los 

 extremos de esta cuerda forman un triángulo rectángulo. 



