— 439 — Espirales. 



simétricas con relación áOA teniendo en A el punto de partida, 

 siendo OA = a y admiten á O A por tangente común. El polo es un 

 punto asintótico. 



— El arco tiene por valor , 



s == — a . log . sen . a. 



— La expresión del área es 



A = — r\J a^ — r^ — — a'-^ ( are. sen = — I -\ a-Tz. 



4 4 \ a / 2 



— La curva presenta dos puntos de inflexión correspondientes á los 

 valores de & : 



O 



-C-t) 



— La espiral tractric es la trayectoria que sigue el polo de una espi- 

 ral hiperbólica rodando sobre sí misma y partiendo de la coinciden- 

 cia de los polos. 



— La podar de la espiral hiperbólica es una espi- 

 ral tractric. 



Puede consultarse sobre esta línea el Journal 

 de Mathéin. Speciales, 1896, pág. 143, la Géomé- ; 

 trifí Analytique de L. Pciinvin, etc. \ 



Sobre otras espirales. — Existen otras curvas es- »"'• 

 pirales sin denominación especial, entre las cua- 

 les es, y como ejemplo señalaremos aquí, la si- 

 guiente : Sea un disco vertical animado de un mo- Figura o. 

 vimiento de rotación alrededor de su centro O y 

 en el sentido de la flecha. Un punto material se mueve libremente, 

 según el diámetro verticaUiJ de este disco, la curva formada por 

 esta traza tiene por ecuación, siendo Oil/'=p, AOA' =^w , r = OA 

 y (/ la acción de la gravedad 



tv 



•Vf' 



curva que, prolongada por fuera de la circunferencia del disco, da 

 una espiral de una especie particular. 



