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Plano osculador. — El plano osculador, en uno de sus puntos, es 

 perpendicular ai plano tangente de la superficie del cono en este 

 mismo punto. 



Radio de curvatura.— El radio de curvatura tiene por expresión: 



r . sen . a 



sen . ¡3 V 1 — cos^a . cos^p 



y la relación del radio de curvatura al radio vector es constante. 



— El radio de curvatura es igual al radio de curvatura del cono, di- 

 vidido por el cuadrado del seno de la inclinación de la hélice sobre 

 la generatriz del cono. 



— Para el vértice de la hélice cónica , el radio de curvatura es igual 

 al radio de curvatura del cono. 



— El lugar de los centros de curvatura de una hélice cónica es una 

 hélice de la misma especie, situada sobre un cono del mismo eje y 

 dermismo vértice. 



Propiedad hnportante. — Si se considera una hélice cilindrica circu- 

 lar como la curva directriz de un cono que tenga su vértice sobre el 

 eje del cilindro, todo plano perpendicular á este eje corta al cono se- 

 gún una espiral hiperbólica, cuyo punto asint<5tico será el pie del eje 

 del cilindro sobre el plano secante. Olivier. Jourtml de la Ecoile Po- 

 litecnique, 1833. 



Otras especies de hélices. — Tenemos también la hélice catenóidica, 

 cuando la base del cilindro sobre el cual esta curva está trazada es 

 una catenaria. E. Catalán la dio este nombre. 



Las ecuaciones paramétricas de esta línea, son:, 



x = e', y = e~', %^=t\2 



Entre sus propiedades, es digna de notar la de que su sombra so- 

 bre un cierto pla?io , es una hipérbola equilátera. Pueden estudiarse sus 

 propiedades consultando los afios 1874, 75 y 79 de la Nouvelle Co- 

 rrespondance Matliéinatique. 



— Las hélices cilindro -cónicas han sido estudiadas por Tissot (Nou- 

 velle Annalfs, T. 11, pág. 454). 



Esta línea da un número ilimitado de vueltas sobre la superficie 

 del cono, 'aproximándose á su vértice sin alcanzarle, y si se planifica 

 el cono, dicha línea se transforma en una espiral logarítmica. Piron- 

 dini, Journal für MathematiJc, Berlín, T. 118, pág. 61. 



