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Entre los trabajos modernos sobre esta materia , merece especial 

 mención el de J. Swellengrebel, titulado Sur les courbes croissant in- 

 définiment et sur celles decroisant indéfiniment , inserto en los Archives 

 de Grünert (1851). 



Espirales planas. — Denominaciones y propiedades generales. — En 

 toda espiral se da el nombre de polo al centro de la curva y se llama 

 circulo regulador aquel cuyo radio es recorrido en una revolución por 

 el punto móvil. 



La parte de la espiral que comprende el arco engendrado en una 

 revolución, se denomina espira. 



Una espiral tiene necesariamente una infinidad de espiras distin- 

 tas; el radio polar puede crecer indefinidamente, aun cuando el án- 

 gulo tienda á un limite fijo ; en este último caso , la espiral es asínto- 

 ta á un circulo. El radio polar disminuye cuando se le da un movi- 

 miento contrario y puede acercarse hacia cero ó hacia un limite 

 cualquiera; en el primer caso, la espiral tiene por asíntota el mismo 

 polo; en el segundo tiene por asíntota un 

 circulo. ..^í-. 



Espiral de Arquímedes. — Definición. — A..> ; '-.^i 



Imaginemos que una recta, O A , se mueve / "y—k -■ \ 

 uniformemente alrededor de un punto, O, de ^^ /..VÍ>¿^' íA 

 manera que su extremo A describe una cir- \ I , ¿I " ., / 

 cunferencia de círculo de radio igual á OA; \ .¿\J ">ív 

 y que un punto, M, á partir del centro, re- K'-- .■ '^^j 



corre con movimiento uniforme el radio OA Á 



durante el tiempo en que el punto A descri- Figura i. 



be toda la circunferencia. El lugar geomé- 

 trico en que se encuentran situados los puntos M, es la línea llama- 

 da espiral de Arquímedes. 



Historia. — Se atribuye el descubrimiento de esta curva á Conon 

 de Samos, amigo y casi discípulo de Arquímedes, que le dio el nom- 

 bre de espiral de Arquímedes por deferencias á este sabio, el cual la es- 

 tudió, dando á conocer sus propiedades y las de sus tangentes, sir- 

 viéndose para ello de construcciones geométricas, tan complicadas, 

 que Vieta puso en duda su exactitud y BDuillard, astrónomo fran- 

 cés, confesaba no entenderlas y sólo el cálculo diferencial ha podido 

 dar plenamente la razón al matemático de Siracusa. 



Pappus, matemático de Alejandría, demostró, Collections mathéma- 

 tiques, que la sección producida por un cono del mismo eje que la su- 

 perficie helizoidal rampante, se proyecta sobre un plano perpendi- 

 cular al eje, según una espiral de Arquímedes. 



