Espirales. — 426 — 



Los geómetras de los siglos xvii y xviii han estudiado detenida- 

 monte esta curva y encontrado curiosísimas analogías entre ella y 

 otra en absoluto diferente, como lo es la parábola. 



Ecuación. — El sistema polar es aquí el sistema natural. Suponga- 

 mos que O sea el polo y el eje polar esté dirigido según la posición 

 primitiva de O A; por definición tondremos que la relación entre uno 

 cualquiera de sus nidios, O x,, y el O A del circulo, es la misma que 

 la del arco correspondiente AA¿A¡ á la circunferencia entera; así, 

 pues, designando por p el radio vector, por r el del círculo, por 2 t: 

 su circunferencia y por tv el arco A A.¡ A-^, se tendrá: 



p : r : : w : 2ic, 

 de donde ; 



r 



P = — - lo; 

 2 it 



r 

 y haciendo a = ; p =^ a iv , que es la ecuación que buscábamos. 



2 u 



Pando á iv valores negativos se obtiene una segunda espiral, si- 

 guiendo á la primera, es decir, se acuerda con ella en el polo y si- 

 métricamente colocada con relación al eje polar. 



Tangente. — La ecuación p ^ a iv nos da — — = a; por consi- 



d IV 



guiente, el ángulo Fque forma la tangente á esta curva con el ra- 

 dio polar tiene por tangente 



p a .w 



tg . V= -f— = = w. 



dp a 



dtv 



es decir, que la tangente forma con el radio vector ángulos tanto 

 más próximos á 90°, cuanto te es mayor. La curva encuentra al eje 

 polar en puntos para los cuales se tiene sucesivamente 



W = O, IV = S IV =: 27t, IV -^ 37t 



Y más generalmente, que una recta, que pasa por el polo y forme 

 con el eje polar el ángulo a, encontrará á la curva en puntos que 

 respondan á los valores 



í/' = a, ;<; = a -)- Ti, iu = a-^'2n, /r = a j 3ii 



