— 427 — Espirales. 



Estos números representan, al mismo tiempo, los valores de la 

 tangente trigonométrica de los ángulos que las tangentes en los di- 

 versos puntos forman con el eje polar. 



Sub-normal. — La sub-normal á esta curva, comprendida entre el 

 polo y el punto de encuentro de la normal con la perpendicular al 

 radio polar , es : 



«n = p • cot . V ^a. 



Es, pues, constante. 



Rectificación. — No puede hacerse sino aproximadamente ; pues 

 sustituyendo los valores de p^ y dp^ deducidos de la curva en el 

 valor del arco 



ds = \/df + i^'^div^. 

 Se tiene : 



ds ^ a . d w V 1 + ""^í 



expresión que no se puede integrar más que por series ó logaritmos, 

 y que depende evidentemente de la rectificación de la parábola. 



Área. — Sustituyendo el valor de div, deducido de la ecuación 

 p = a «•, en la expresión del área en coordenadas polares. 



: = ^ I a'^dw 



se obtiene 



24.^2 



Si se hace el arco w = 2ic, se tendrá s = — ti. Por lo tanto, el área 



3 

 de la espiral es el tercio de la del círculo. 



7 

 Esto es en cuanto á la primera espira. Para dos espiras, s = — it; 



14 37 



para tres, s = — n; para cuatro, s = — Tt , etc., y para m es- 



3 3 



m^ — (m — 1)° 

 piras , s = ^^ — n. 



3 

 Comparando cada una de estas áreas con las del círculo circuns- 

 crito correspondiente, que vale sucesivamente tt, 4 ti, 9 n, 16t:, etcé- 

 tera, se ve que el área de la segunda revolución es al círculo cir- 



