Geodésicas. — 522 — 



La curva de género tiene la forma que indica la figura ante- 

 rior; ésta se puede construir punto por punto como se indica en la 

 misma figura; la recta PQ se supone movible y constantemente tan- 

 gente á un círculo que tiene por centro el origen y cuyo radio es 

 igual á h. La curva de la variedad está formada por las líneas de 

 puntos; cuando el punto (a, ¡i) está situado en las regiones rayadas, 

 la cónica correspondiente es una elipse real; la cónica es una pará- 

 bola, si el punto está colocado sobre la curva, y es una hipérbola 

 en todos los demás casos. Por último, será un sistema de rectas con- 

 currentes cuando el punto esté colocado sobi'e una de las líneas de 

 puntos. 



Geodésicas. 



Definición. — Las lineas más cortas trazadas sobre una superficie 

 cualquiera, entre dos de sus puntos, se llaman lineas geodésicas de 

 esta superficie. 



— Aun cuando la denominación de geodésicas se aplicó á las distan- 

 cias que se miden en la superficie de la tierra, como éstas son siem- 

 pre las más cortas entre las dos extremidades, de aquí el uso de de- 

 signar con este nombre en Matemáticas á las líneas que con estas 

 condiciones se trazan sobre una superficie cualquiera. 



Historia. —En el Journal des Saranis correspondiente al mes de 

 Agosto de 1697, Juan Bernouilli propuso á su hermano Jacobo, en- 

 tre otros problemas, la importante cuestión de determinar la línea 

 mínimum entre dos puntos situados sobre una superficie cualquiera, 

 aunque fijándose más particularmente en el supuesto de que esta 

 superficie fuera el conoide parabólico ; y Jacobo , en Acta Erudito- 

 rum, 1698, determina la solución de este problema, Solutio sex pro- 

 blematum fraternorum in Ephem. Gallic, 2fí Aug. 161)7 propositorum, 

 ateniéndose al caso del conoide parabólico y obteniendo la ecuación 

 diferencial de la curva pedida, siendo luego su hermano Juan el 

 que, en 1728, da la solución general de este problema y enuncia la 

 condición que deberá cumplir la curva pedida, de que en cada uno 

 de sus puntos su plano osculador sea normal á la superficie sobre la 

 cual está colocada. 



Euler, en 1729, se ocupa de estas especies de curvas; pero en sus 

 estudios se separa poco de los métodos seguidos por los hermanos 

 Bernouilli, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimi ve pro- 

 pietaíe gaudentes. 



— El nombre de lineas geodésicas con que estas curvas son conocidas 



