Geodésicas. — 524 — 



La condición se descompondrá en : 



, dx dx , dx „ , dii dti , dx 



d d =Q y d —^ ^ d = O, 



ds dF ds ds dF ds 



dx dx 



y una de estas dos últimas, unidas á F (x,ij,x) = O, que es una con- 

 secuencia, determinará la curva buscada. 



Propiedades. — El plano osculador, en cada punto de una linea 

 geodésica, es normal á la superficie en dicho punto. En efecto ; el ra- 

 dio de curvatura principal de una curva de doble curvatura forma, 

 con los ejes, ángulos cuyos cosenos son proporcionales á 



, dj- , d 11 , dx 



d , d -^í- y d . 



ds ds ds 



Por otra parte, la normal á la superficie en el punto .r . ¡j, x, for- 

 man, con los ejes, ángulos cuyos cosenos son proporcionales á 



dF^ dF dF^ 



dx dy dx 



y según las ecuaciones ( 1 ) 



dx d !/ d z 



Serán las direcciones de la normal principal á la línea geodésica 

 y de la normal á la superficie una misma. 



— En la esfera, las lineas geodésicas son arcos de circuios máximos. 



— En las superficies desarroUables, las lineas geodésicas son aqué- 

 llas que en la transformación son lineas rectas. Asi, en un cilindro 

 de revolución, las lineas geodésicas son las hélices. 



— En las superficies de revolución, la propiedad característica de 

 las lineas geodésicas es la de que en cada uno de sus puntos, el pro- 

 ducto de su distancia al eje de la superficie, por el coseno del ungido que 

 forma en este punto la linea geodésica con el paralelo, es constante. 



