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vatura de las secciones normales, son todos positivos ; luego las sec- 

 ciones normales tienen todas sus curvaturas vueltas hacia un mis- 

 mo lado. 



— Si la indicatriz es una hipérbola, siendo sus diámetros unos reales 

 y otros imaginarios, sus cuadrados serán unos positivos y otros ne- 

 gativos, y las dos curvaturas principales de la superficie estarán 

 vueltas en sentido contrario; y, en general, entre las diferentes sec- 

 ciones normales, las unas tienen su curvatura vuelta hacia un lado 

 y las otras hacia el lado opuesto. Los radios de curvatura de las sec- 

 ciones normales, conducidos según sus asíntotas, serán infinitos, y 

 la curvatura cambiará de sentido cuando el plano secante, girando 

 alrededor de la normal, traspase una de las asíntotas. El ángulo 

 comprendido entre las asíntotas puede servir para conocer la rela- 

 ción de las dos curvaturas. 



— La indicatriz, según la dirección á dar á la sección normal que se 

 quiera estudiar, deberá ser determinada por un plano paralelo al 

 plano tangente, pero dirigido alternativamente de uno y otro lado 

 de este plano tangente. Las dos indicatrices serán dos hipérbolas su- 

 plementarias ó conjugadas, y sus ejes reales corresponderán á las 

 secciones de curvatura máxima en el uno y en el otro sentido. 



— Si la indicatriz es un círculo, los radios de curvatura de todas las 

 secciones normales son iguales entre sí, y á los puntos de la superfi- 

 cie en que se presenta esta circunstancia se les ha dado el nombre 

 de umbüicus ú ombligo. 



— Si la indicatriz está compuesta de dos rectas paralelas, siendo 

 reales todos sus diámetros, la superficie presenta sus curvaturas di- 

 rigidas en un mismo sentido, y es nula en la dirección de dichas 

 rectas, y el radio de curvatura de la sección perpendicular será tam- 

 bién nulo. 



— De lo expuesto se deduce que las curvas elípticas é hiperbólicas son 

 las solas curvas indicatrices. 



Indicatriz esférica. Curva formada por la traza sobre una esfera 

 de radio igual á la unidad, de los radios paralelos á las tangentes á 

 una curva alabeada. Esta línea puede ser plana ó alabeada. 



— La indicatriz esférica de esta indicatriz encontrada se llama la 

 segunda indicatriz de la curva propuesta. 



Ver Laurent, Traite d'Analyse, T. VII, pág. 71. 



— Se dice también indicatriz ó curva del indicador, la trazada por el 

 lápiz de que se provee al indicador de las máquinas de vapor y sir- 

 ve para demostrar la presión que obra sobre el émbolo y el adelanto 

 ó retraso de la entrada del fluido en el cilindro, y, por lo tanto , el tra- 



