Lineas de curvatura. — 678 — 



líneas de curvatura que se cortan á ángulos rectos en dicho pun- 

 to. En efecto; la ecuación (1) atribuye dos valores distintos á — -, 



dx 



y si para simplificar se dirige el eje de las x según la normal al 

 punto considerado de la superficie, y que, por consecuencia, se toma 

 el plano tangente por plano de las xy; p j q serán nulos y la ecua- 

 ción anterior, para el punto origen, se reduce á 



\dxj 



dx 



que nos dice que los valores de — ^ serán recíprocos y de signo con- 



dx 



trario. De aquí, por consiguiente, lo enunciado. 



— En toda superficie existen, pues, dos series de líneas de curva- 

 tura que la dividen en cuadriláteros curvilíneos infinitamente pe- 

 queños, cuyos lados se cortan en ángulo recto é indicarán la posi- 

 ción de las dos curvaturas de la superficie; es decir, las líneas, 

 según las que presentará alrededor de cada punto la curvatura 

 máxima ó la mínima. 



— Como la ecuación ( 1 ) es de segundo grado con relación á -^ , su 



dx 



integral contendrá una constante arbitraria elevada al cuadrado; y 

 si se quiere determinarla de modo que la línea de curvatura pase 

 por un punto dado de la superficie, se hallarán dos valores que co- 

 rresponderán respectivamente á las líneas de curvaturas de cada 

 sistema. 



— Eliminando r y t por medio de las ecuaciones 



dp = r . dx -\- s . dy 

 dq^s . dx ^ t . dy, 



y teniendo en cuenta que 



dx = p . dx -\- q . dy, 



la ecuación ( 1 ) toma la forma 



d'P ("^y + 1 • d^) = ^í {^-"^ -\- P ■ dx) 



que es muy digna de notarse. 



