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— En el elipsoide, la ecuación diferencial de primer orden de las lí- 

 neas geodésicas, es 



l, «2 ^ ¿2 ^ c2 j V«' ' ¿1 CV 



designando K una constante arbitraria. 



— Esta ecuación ha sido interpretada geométricamente por Joa- 

 chimsthal de una manera elegante. La distancia P del centro del 

 elipsoide al plano tangente en el punto x, y, í, tiene por expresión: 



P= ' 





2 ^2 



y el diámetro D, paralelo á la tangente á la línea geodésica, tiene 

 por magnitud 



ds 



D = 



V 



dx^ d y^ dx^ 



— p ~p 



a^ b^ c^ 



y, por consecuencia, la ecuación (a) se traduce por la relación geo- 

 métrica : 



PD = constante ; 



es decir, si en un punto M, situado sobre una línea geodésica, tra- 

 zada sobre una superficie de segundo grado con centro, se traza la 

 tangente á la curva y el plano tangente á la superficie, la perpen- 

 dicular bajada desde el centro sobre el plano tangente, multiplicada 

 por el diámetro paralelo á la tangente, nos* da un producto cons- 

 tante. 



— Gauss ha demostrado (Nouvelles Anuales, T. XVIII, pág. 16) que 

 todas las líneas geodésicas de igual longitud que parten de un mis- 

 mo punto de una superficie son perpendiculares á la curva formada 

 por las extremidades de estas líneas, y si desde todos los puntos de 

 una línea cualquiera trazada sobre una superficie se dirigen octogo- 

 nalmente y hacia un mismo lado líneas geodésicas de la misma lon- 

 gitud, éstas cortan según un ángulo recto la línea que reúne sus ex- 

 tremos. 



