Paralelas. 



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real ó imaginario y admiten, como curva asintótica, dos espirales 

 logarítmicas, cuyos polos están sobre el centro del círculo fijo. 



— Estas curvas son semejantes á su segunda evoluta. 



— Puede verse R. de Saussure: ínter mediaire des Mathémaiiciens , 

 1895, página 356. 



Paralelas. 



Definición.— Se dice que dos curvas son paralelas cuando tienen 

 la misma evoluta. 



Historia. — Entre los diferentes trabajos relativos á estas curvas, 

 citaremos los siguientes: Kaestuer (Comm. soc. Gottin, t. XI; Crelle, 

 1822, t. II, pág. 203); T. Olivier (Journal de l'Ecole Polytechnique, 

 tomo XV, pág. 73), y particularmente la obra De lineis et superficiebus 

 mquidistantibus. Dissertatio inaiiguralis, Michaelis Reiss (Gottíngue, 

 1826, en 4.°), en la que pueden verse todas las fórmulas diferencía- 

 les relativas á las curvas paralelas ó equidistantes ; planas y de doble 

 curvatura. 

 Propiedades.— Sean B j B' dos curvas paralelas y ^ su evoluta; 



los puntos tales como tn 

 y n en que una normal 

 común corta á ambas 

 curvas, se denominan 

 puntos homólogos. 

 — Para todas las curvas 

 paralelas, si se marcha 

 sobre la curva B á par- 

 tir del punto m, y al pro- 

 pio tiempo, sobre la cur- 

 va B' A partir del punto 

 homólogo n, se podrá 

 marchar de dos maneras 

 diferentes: 



1.° Tomando dos án- 

 gulos de contingencia ¡guales , y entonces los arcos ds de B j ds' de 

 B' serán entre sí como los radios de curvatura mo — p y no = f'. 



2." Tomando dos arcos ds sobre B y ds' sobre B', proporcionales 

 á los radios de curvatura p y p', se tendrán dos ángulos de contin- 

 gencia iguales. 

 — Dos curvas paralelas tienen por envolventes dos curvas paralelas. 



Figura 10. 



