— 679 — Líneas de cdrvatüra. 



— Las dos líneas de curvatura que pasan por un punto, son tangen- 

 tes á las dos secciones principales. 



— Si se calculan los radios de curvatura de la superficie para un 

 punto determinado, es decir, las porciones de la normal comprendi- 

 das entre el punto y aquellos en que es cortada por las dos normales 

 próximas, se encuentra que coinciden en magnitud y en posición 

 con los radios de curvatura de las secciones principales. 



— Se deberá tener presente que los puntos de encuentro de las nor- 

 males no son los centros de los circuios osculadores de las líneas de 

 curvatura, porque estas normales se cortan consecutivamente y son 

 tangentes á una misma curva , propiedad que no tienen las norma- 

 les trazadas por los centros de curvatura de una curva alabeada. 

 Asimismo, las líneas de curvatura pueden ser planas, sin que sus 

 circuios osculadores se confundan con los de las secciones principa- 

 les, bastando para ello que sus planos osculadores sean normales, y 

 que, por consiguiente, las líneas de curvatura sean las de más corta 

 distancia sobre la superficie. 



— Si una línea de curvatura trazada sobre una superficie es plana, 

 los planos taníjentes á la superficie á lo largo de esta línea forman 

 todos un ángulo constante con el plano de la linea. 



— Si dos superficies se cortan según una línea de curvatura común, 

 la una á la otra se cortarán según el mismo ángulo en todos ios pun- 

 tos de esta linea. 



— Si dos superficies se cortan octogonalmente, se cortarán recipro- 

 camente según dos líneas de curvatura. 



— Si tres superficies se cortan octogonixlmente, la intersección de dos, 

 cualesquiera de ellas entre si, es una linea de curvatura de la una y 

 de la otra. 



— Las normales de una superficie, trazadas por los diferentes pun- 

 tos de una linea de curvatura, forman una superficio desarrollable, 

 puesto que dos normales consecutivas se encuentran. Para obtener 

 la ecuación de esta superficie, bastará eliminar a;, y, x, entre la ecua- 

 ción de la superficie propuesta, las de una normal. 



X — x^- p{Z— X) = 

 T-,j+qiZ-x) = 



y la ecuación (1) que expresa que el punto (x-, y, x), está sobre la 

 línea de curvatura. Esta ecuación resultará de segundo grado con 

 relación á x. Si es susceptible de descomponerse en dos factores, 

 igualándolos separadamente á cero, se obtendrán las ecuaciones dis- 



