Líneas de cuevatura. — 680 — 



tintas de dos superficies que contendrán respectivamente los centros 

 de una y otra curvatura de la superficie propuesta. Si esta descom- 

 posición no es posible, los centros de las dos curvaturas se encontra- 

 rán colocados sobre dos hojas distintas pertenecientes á una super- 

 ficie única. 



— Una normal cualquiera á la superficie propuesta, toca á la vez á 

 las dos hojas que contienen respectivamente los centros de una y otra 

 curvatura, y si se hacen pasar por esta normal dos planos tangentes 

 á estas dos hojas, dichos planos se cortarán en ángulo recto. 



— Cuando la superficie que contiene los centros de una de las curva- 

 turas corta á la superficie que contiene los centros de la otra, los 

 puntos de intersección se llaman el lugar de los centros de curvatura 

 esférica, porque cada una de las tangentes á este lugar será una nor- 

 mal de la superficie, que la cortará en un punto A, para el que se 

 verificará que las dos curvaturas tendrán evidentemente el mismo 

 radio y el mismo centro, de suerte que serán iguales, como sucede 

 en todos los puntos de una esfera. 



El conjunto de todas las tangentes al lugar de los centros de cur- 

 vatura esférica, cortará á la superficie según una curva A^ A', A" 



que recibe el nombre de línea de las curvaturas esféricas, la cual 

 corta necesariamente á todas las lineas de ambas especies de curva- 

 turas. 



La ecuación de la proyección sobre el plano de las xy de esta li- 

 nea, es 



[[l+q^)r — 2pqs + (1 + p^)tf — 4(1+ p2 + q-.)^rt — s^) = 0. 



— Cada una de las aristas de retroceso de las superficies desarrolla- 

 bles normales, cuya reunión forman las dos hojas de la superficie, 

 lugar de los centros de curvatura, es una línea de más corta distan- 

 cia sobre esta última superficie. 



— Si se concibe un hilo que tenga uno de sus extremos fijo sobre un 

 punto de la línea de intersección de las dos hojas, que contienen res- 

 pectivamente los centros de una y otra curvatura; atirantando este 

 hilo, y haciéndole mover de manera que esté en parte ajustado á 

 esta intersección y la porción libre dirigida en el sentido de la tan- 

 gente, el extremo opuesto trazará la linea de curvaturas esféricas 

 sobre la superficie propuesta. 



Casos particulares. — No se ha encontrado todavia un método grá- 

 fico, sencillo y general, que sirva para construir las líneas de cur- 

 vatura sobre una superficie curva cualquiera, si bien la cuestión ha 



