Líneas DE RiBAucouE. — 682 — 



— Monge ha demostrado que, por cada linea de curvatura del elip- 

 soide, pasan tres cilindros de segundo orden, cuyos ejes coinciden 

 con los del elipsoide. 



— En el paraboloide elíptico de ecuación 



«= — + -^ a>b>0, 

 2a 2b 



la ecuación diferencial de las líneas de curvatura, será 



J_ y'dy^ 4/1 — 14- ^L ^\1_ JL^ L- J^ = o 



ab'^ x^dx^ \b a d-b ab'^ J x- x.dx a^b x^ 



que integrada, es 



„2_,^2 , ah(a-b)c 



J/2 ^ cx"^ + 



b -\- ac 



y haciendo variar c, se tendrán las proyecciones sobre el phmo de 

 las xy de todas las lineas de curvatura. Estas proyecciones serán 

 dos elipses si se tiene c<;0 y dos hipérbolas para c>0. Los centros 

 de estas líneas estarán en el origen. 



'O'- 



Líneas de Ribaucour. 



E. Césaro. Nouvelles A>males, 1888, pág. 174, da para ecuación 

 intrínseca de las espirales sinusoides (Ver esta voz) la ecuación: 



n 4- 1 í* do 



s = - ' 



ir 



n— 1 ' ' 2» 



'"-"(»)""-'• 



y señala que, en general, la ecuación 



n -^' I f* dp 



s = 



71 



^f 



V(i)"" 



1 



representa una espiral sinusoide si n = ú otra familia de li- 



n — 1 



neas, á la que denominó lineas de Ribaucour, en el caso en que 



