Plana. 



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La ecuación de la tangente buscada será 

 y se deberá tener 



■y 



dx 



iX-x), 



dy 

 dx 



= a, 



ecuación que, juntamente con la de la curva, determinarán las 

 coordenadas del punto de contacto. 



d^y 



Concavidad y convexidad de las curvas. — Según que y y 



dx^ 



sean 



del mismo signo ó de signos contrarios, la curva se demuestra es 

 convexa ó cóncava en un punto il/con respecto al eje de las abscisas, 

 si el ángulo de las partes positivas de los ejes no es mayor que un 

 ángulo recto. En el caso de que este ángulo es obtuso, se cambia 

 el signo de una de las coordenadas; lo que viene á hacer agudo el 

 ángulo de las coordenadas positivas, y, por tanto, se aplicará la 

 misma regla. 



Área de las curvas planas. — El área comprendida entre una curva 



plana, (?il/(fig. 4); una ordenada 

 fija, C A; otra ordenada cualquiera, 

 MP, y el eje de las abscisas Ox, es 

 una función de la abscisa OP = x 

 del punto M, puesto que ella varía 

 cuando se cambia el signo de P. 



Su diferencial tiene por expre- 

 sión, siendo CAMP = n, 



r 



FIyura 4. 



2/ = 



dn 

 dx 



ó d?i = ydx; 



si los ejes, en lugar de ser rectangulares, forman un ángulo 9, la 

 diferencial del área será 



dn = y . dx . sen . 6. 



En coordenadas polares, siendo n el sector POM (fig. 3), se 

 tendrá: 



dn = — r'^d^. 

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