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loqtie contactus, et osculi, provolutionibus, alüsque cognatis, et eorum 

 usibus nonnullis (Acta Eruditorum, 169-2), sin comprender las obje- 

 ciones de aquél. 

 Propiedades . — Sea 



■^ix,y',a,b,c, ,/) = (1) 



una ecuación que comprende « + 1, constantes arbitrarias a, b, c /, 



y que según los valores atribuidos á estas constantes corjvienen á 

 una infinidad de curvas diferentes. 



Se puede disponer de las indeterminadas a,b,c I de tal mane- 

 ra, que la curva (1) tenga un contacto de un orden determinado, de 

 enésimo orden ó más, en un punto dado (x, y) con una curva dada 

 por la ecuación 



y = fix). {2) 



Si el contacto es de enésimo orden, las n + 1 condiciones siguien- 

 tes serán satisfechas 



y estas n + 1 ecuaciones determinarán las n -f- 1 constantes incóg- 

 nitas, a, b, c en función de las coordenadas del punto de contacto 



y de los coeficientes de la ecuación ('2). 



Determinando las constantes de modo que se obtenga el orden más 

 elevado posible, que es igual al número de aquéllas menos una, se 

 tendrá la curva representada por la ecuación (1), que responde á 

 estos valores de las constantes, ó sea la osculatrix de la curva 

 y = f{x). 



Para que dos líneas sean osculatrices, la una de la otra, en un 

 punto, deberán tener en este punto un contacto de segundo orden á 

 lo menos, es decir, que se las pueda considerar como teniendo tres 

 puntos comunes confundidos en uno sólo. También lo serán cuando 

 la ecuación resultado de la eliminación de una de las coordenadas 

 entre las ecuaciones de las dos curvas tiene por lo menos tres raices 

 iguales , ó cuando las dos primeras derivadas á lo menos de una de 

 las coordenadas con relación á la otra, tienen los mismos valores en 

 los dos casos. 



— Si una curva está determinada por .3, 4, 5 puntos, se puede 



proponerla hacerla pasar por 3, -4, 5, puntos infinitamente próxi- 



