Polares recíprocas. — 820 — 



á X y á Y, se tendrán dos ecuaciones entre x, y, x^é y^; y si entre 

 ellas y la J' {x, y) ^= O se eliminan x é y, se tendrá entre .r^ é y^ la 

 ecuación buscada de la curva S' . 



Propiedades. — Los grados de las dos curvas polares reciprocas 

 están íntimamente ligíidos entre si; si m es el de S, m (tn — 1) será 

 el de S', ó, también, el grado de la polar recíproca de una curva 

 cualquiera es igual á la clase de esta curva; es decir, igual al número 

 de tangentes que pueden trazarse á la citada curva desde un punto 

 cualquiera. 



— El punto de intersección de dos tangentes á la curva S corres- 

 ponde á la recta que une los puntos correspondientes de S'. 



— Si consideramos el sistema de coordenadas trilineales, en el que la 

 posición de un punto queda determinada por sus distancias á tres 

 rectas fijas, y la de una recta cualquiera queda definida por una 

 ecuación homogénea entre estas distancias, ecuación de la forma 



la -(- wp -|- zty = 0; 



y el sistema de coordenadas tangenciales, en el cual la posición de una 

 recta se determina por coordenadas, y la de un punto, por una ecua- 

 ción de la forma 



aX -f- ftpi- + cv = 0, 



se podrá decir que, demostrada una propiedad de posición (esto es, 

 que no se refiere á magnitudes lineales ni angulares) respecto de una 

 línea en uno de los sistemas trilineal ó tangencial, esta propiedad 

 será susceptible de dos interpretaciones, según que la consideremos 

 como una ecuación en una ú otra especie de coordenadas, correspon- 

 diendo, por tanto, otra nueva, que llamaremos recíproca de la pri- 

 mera, con sólo tomar como tangenciales las ecuaciones que se han 

 obtenido en coordenadas trilineales, ó como trilineales, si las obte- 

 nidas lo han sido en el sistema tangencial. 



En consecuencia, todo teorema de posición es un doble teorema, 

 deduciéndose el enunciado de uno de ellos del otro, por el simple 

 cambio de las palabras imnto y línea; y estos dos teoremas se 

 demostrarán, interpretando las ecuaciones, bien en coordenadas tri- 

 lineales ó bien en tangenciales. Así, por ejemplo, si sabemos que un 

 cierto número de puntos de la figura 5 están en linea recta, deduci- 

 remos que las rectas correspondientes de la figura S' serán concu- 

 rrentes y viceversa. Del propio modo, si varios puntos de S perte- 



