— 823 — Polares recíprocas. 



sea F {x, y) la ecuación de la curva dada y (Xj, y^) uno de sus 

 puntos cuya polar con relación al círculo auxiliar, tendrá por 

 ecuación 



^«1 + yyi = r^- 



Si n y V son las coordenadas de una tangente á la curva recíproca, 

 se puede tomar para ecuación de esta tangente 



nx-\- yy = 1, 



y comparando, se tendrán las relaciones 



X, y, 



por consiguiente, x^ = r'^n, //j ^ r^v, y la ecuación de la polar reci- 

 proca será: 



Fir^n, r^v) = 0. 



Si la linea propuesta fuese definida por <p («, v) == O, la curva 



recíproca lo seria por tp j — , -^ 1 = 0. 



\ r^ r^ } 



— En el caso particular en que el radio del circulo auxiliar fuera 

 igual á la unidad, una curva, representada por la ecuación I (x,y):=0 

 ó y (u, v) ^0, tendrá por polar reciproca otra cuya ecuación sería 

 F{u,y) = ó tp(£c, ¿/) = 0. 



Propiedades. — La polar reciproca de una circunferencia, con rela- 

 ción á un círculo del centro O, es una sección cónica que tiene por 

 foco el punto O y por directriz la polar del centro de esta circunfe- 

 rencia. Esta cónica será una elipse, una hipérbola ó una parábola, 

 según que el punto O sea interior, exterior ó esté en dicho circulo. 



— La curva recíproca de una recta es una circunferencia que pasa 

 por el polo y toca en este punto á una paralela á la recta dada. 



— La curva recíproca de la envolvente de un círculo para radios 

 emanados del centro, es una espiral-tactric. , 



— En dos curvas recíprocas, la tangente en un punto de una de ellas, 

 y la normal al punto correspondiente de la otra, forman ángulos 

 complementarios con el radio vector. 



— La curva recíproca de la espiral de Arquímedes es la espiral 

 hiperbólica. 



