P, Q, P — QYP + Q. — 832 — 



ciones por intersecciones de curvas, Mr. E. Prouhet ha estudiado las 

 lineas cuya denominación es la de P y Q, así como la diferencia y 

 suma de estas mismas letras. 



Propiedades. — Los puntos de intersección de las curvas P y Q 

 reciben el nombre de puntos - raíces , puesto que pueden ser consi- 

 derados como que forman una representación geométrica de las 

 raíces de la ecuación f{x) = 0. 



— Cada una de las curvas P y Q presentan un punto múltiple del 

 orden n, en todos los casos que la ecuación primitiva f (z) = O 

 tiene n raíces iguales entre sí. 



— En cada punto {x, y) tienen estas curvas n tangentes distintas, y 

 de tal manera dispuestas , que dos tangentes consecutivas compren- 

 den un ángulo igual á la w**"'"" parte de dos ángulos rectos. 



— Un punto raíz del orden n no puede ser de parada ni aislado para 

 ninguna rama de la curva P, por lo menos en el caso de que la fun- 

 ción P sea continua. 



- Las tangentes á la curva Q son las bisectrices de los ángulos for- 

 mados por las tangentes á la curva P. 



— En un punto raíz de primer orden, las curvas P y Q se cortan en 

 ángulo recto. 



P — Q y J-'-\-Q = Definicmies. — La curva de ecuación P — Q — 

 ó curva P — Q es el lugar de los puntos cuyas coordenadas, sustitui- 

 das en las funciones PyQ, nos dan resultados iguales y del mismo 

 signo. 



— La curva de ecuación P -|- Q = O, ó curva P + <3 es el lugar de 



todos los puntos cuyas coordenadas, sustituidas en las funciones P y 



Q, nos dan resultados iguales y de signo contrario. 



P 

 Propiedades. — Eu cada punto de la curva P — Q la relación — - 



es igual á la unidad, y en cada punto de la P -1- Q, dicha relación 

 tiene el valor, menos uno. 



— En un punto-raíz del orden n: 



1.° La curva P — Q tiene n tangentes distintas, y cada una for- 



ma, con la que le sigue, un ángulo igual á — . 



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2.° La curva P -^ Q tiene también n tangentes distintas, las cua- 

 les son las bisectrices de los ángulos formados por las tangentes á la 

 curva P — Q. 



— Si se construyen las tangentes á las curvas P y Q y se designan, 

 respectivamente, los ángulos consecutivos, formados por estas tan- 

 gentes, por los números O, 1, 2, 3 ; las bisectrices de los ángulos 



