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La Fontaine en sus Memoires insertas en Recueil de l'Académie des 

 Sciences y en la obra Memoires de Mathématiqíies , París, 1764, consi- 

 dera el caso en que la resistencia está representada por un término 

 de segundo grado en función de la velocidad y aplica un análisis 

 nuevo y más general que el de sus antecesores. 



Lagrange (Sur les courbes tautóchrones , Memoires de l'Académie 

 royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin, t. XXI, 1765), se propo- 

 ne la cuestión más general de determinar cual es la fuerza necesa- 

 ria para producir el tautocronismo, considerando esta fuerza como 

 una función cualquiera de la velocidad y de la posición del móvil. 

 La fórmula encontrada por Lagrange fué también demostrada por 

 D'Alembert en las mismas Memorias. Lagrange escribe otra Me- 

 moria en 1770 y deduce que: «Toda curva que es tautócrona en una 

 hipótesis cualquiera de fuerza y de resistencia, lo es si se supone 

 la resistencia aumentada de un término proporcional á la velo- 

 cidad». 



Mr. Puiseux ha estudiado el problema de las tautócronas fundán- 

 dose (Journal Liouville, t. IX, pág. 409, 1844) en la diferenciación 

 bajo el signo integral, cuyo método es preferible al de Mr. Poissons 

 iCours de Mecanique), por desarrollo en serie. 



Para terminar este punto, mencionaremos un elegante articulo de 

 Mr. Haton de La Goupilliere {Journal de Liouville, tomo XIII, 2.* se- 

 rie, pág. 304), en el cual se demuestra que la epicicloide y demás 

 curvas encontradas por Mr. Puiseux son las únicas para las cuales 

 la ley de la fuerza está comprendida en la fórmula general de La- 

 grange relativa al tautocronismo. 



Ecuación. — Sea un móvil pesado y en el vacío. Dirigiendo el eje 

 de las X en sentido contrarío á la gravedad, se trata de encontrar la 

 curva que debe seguir un punto material para llegar todas las veces 

 al mismo tiempo al origen de coordenadas, cualquiera que sea el 

 punto de partida, pero sin velocidad inicial. 



Si llamamos t el tiempo; 



s el arco de tautócrona á partir del origen; 

 h el valor de x para el punto de partida del móvil; 

 g la acción de la gravedad; 



T el tiempo empleado por el móvil para llegar al 

 origen; 

 tendremos: 



2T 



s = \ '¿gx; 



V2, 



SgT^ 



