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próximas de la superficie £ se hacen pasar respectivamente los pla- 

 nos P, P' , P" , P" .. . P" sujetos á ser todos paralelos á la recta O. 

 El plano P no será otro que el plano T y cortará la superficie S se- 

 gún el punto superficial m. Y los planos P' , P" ... P" cortarán res- 

 pectivamente la superficie S, según las curvas C,, Cg... C^. 



Se podrá , pues , considerar la superficie S como engendrada por 

 la curva c, moviéndose sobre las tres curvas A, B, D (como directri- 

 ces) y modificándose en su forma, para transformarse sucesiva- 

 mente, durante su movimiento, en las curvas sucesivas é infinita- 

 mente próximas c¡,, c^ c„. Asi, es evidente que las dos superfi- 

 cies 5 y £ serán respectivamente las transformadas geométricas, la 

 una de la otra. 



Por consiguiente, si se traza sobre la superficie S una curva v que 

 pase por el punto m, esta curva v, cortando en Wj á la Cj, en Wg á la 

 Cg n„ á la c„, y si, por los diferentes puntos sucesivos é infinita- 

 mente próximos, «g» ^3 '*n de la curva V, se trazan paralelas á la 



recta C, las cuales vendrán respectivamente á cortar las generatri- 

 ces rectas g^, en n\, gr, en w'j gn en n'„; los diversos puntos n\, 



n'\, Wj" formarán una curva F, trazada sobre la superficie - y esta 

 curva Fj será la transformada geométrica de la curva v. 



Propiedades. — Los radios de curvatura en dos puntos correspon- 

 dientes de una linea trazada sobre una superficie desarroUable y de 

 su transformada en el desarrollo, es igual al coseno del ángulo que 

 forma el plano osculador de la linea con el tangente á la superficie. 



— Cuando una curva trazada sobre una superficie desarroUable toca 

 una generatriz, no varía en el desarrollo el radio de curvatura en el 

 punto de contacto, lo cual supone que el plano osculador es tangente 

 á la superficie. 



— En la arista de retroceso se verifica que, como en cada punto es 

 tangente á una generatriz , sus radios de curvatura son idénticos á 

 los de su transformada. 



— Una curva trazada sobre una superficie desarroUable pasa de una 

 hoja á otra, con un retroceso de primer orden, á no ser que sea tan- 

 gente á la envolvente de las generatrices, y la transformada tendrá 

 también un retroceso de primer orden. 



— Toda curva transformada tiene la misma longitud que la curva 

 primitiva, y el ángulo que en el desarrollo forma con las generatri- 

 ces es el mismo que el que la curva primitiva forma con las gene- 

 ratrices correspondientes de la superficie. 



Casos particulares. — Transformadas planas de las curvas traxadas 

 sobre un cilindro de revolución, cuyo radio de curvatura es constante. 



