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Umbilical. 



Definición, — Se suele dar este nombre á la curva lugar de los 

 puntos umbílicos de una superficie. 



Esta línea se la llama también línea de curvaturas esféricas (ver 

 Líneas de curvatura), atendiendo á que los umbílicos son los puntos en 

 los que las curvaturas principales de la superficie son iguales. 



Ecuación. — La ecuación de la proyección sobre el plano de las xy 

 de esta línea es , según se vio , en la locución citada, 



[(1 + q> - '¿Pqs + (1 -hp')tr- - 4 (1 + p2 ^ 32) ^rt - s2) _ o, 

 que .se descompone en otras que, reducidas, se pueden escribir: 



1+^2 _ 1 + í' ^M.. (1) 



t 



— Pues bien ; cuando estas dos ecuaciones se reducen á una sola 

 verdaderamente distintas, ella, unida á la ecuación F(x, y,'x) = Q 

 de la superficie, determina .sobre ésta una curva en que todos sus 

 puntos son umbílicos, es decir, la curva umbilical ó línea de las cur- 

 vaturas esféricas. 



Caso ■particular, — La superficie de la esfera es la única que ofrece 

 una curvatura uniforme alrededor de cada normal. Se puede decir 

 que cada uno de sus puntos es un umbílico, observando que la con- 

 dición (1) se encuentra satisfecha para todo sistema de valores de 

 las coordenadas x, y, z que convienen á la ecuación de la esfera 



íc- + ¿/^ + ''^^ = r^ 



