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por tanto, t y 6 son raices de la ecuación 



a2-f_4a -'2 =0, 



y el punto doble corresponderá al valor — 2 — Vtj ó al — 2 -\-\&, 

 atribuidos á t. 



Con estos resultados se puede construir la curva, que viene á tener 

 la forma manifiesta en la figura. 



— Un caso bastante frecuente de curvas unicursales es el dado por 

 la envolvente de una recta en la ecuación de la cual entra racional- 

 mente un parámetro )., ó, lo que es lo mismo, un ángulo (f , dado por 

 las potencias de sus senos ó cosenos. 



En este caso, si 



Ax-{ By+ C=0 



es la ecuación de la recta, en la cual 



A = f(k) B = ^il) G = 'l('K) 



se tendrá la ecuación de la envolvente eliminando X entre esta ecua- 

 ción y su derivada con relación á X; ó también, considerando las 

 ecuaciones simultáneas en x é y, 



A x-\- B y + C =0) 



(1) 

 A\x + B',y+ C'x=Q) 



y resolviéndolas con relación á estas variables, que nos darán las 

 coordenadas de un punto de la envolvente en función racional de X. 

 Si uno de los puntos es doble, existirán dos valores de X, que satis- 

 farán á la vez á las ecuaciones (1) para los valores áe x é y corres- 

 pondientes á dicho punto. 



Aplicaciones. — Estas curvas son de una gran aplicación en el 

 cálculo integral. Sea, en efecto, la integral //"(a;, y)dx^ en laque y 

 está ligada con x por medio de una ecuación algebraica F(x, y) = 0; 

 si esta ecuación es la de una curva unicursal, resulta que x é y 

 pueden expresarse en función racional de un parámetro t, y, por 

 consiguiente, la integral propuesta se refiere á la de una función 

 racional. 



— Entre otras, pueden ser consultadas las obras siguientes: 



