MÁXIMA PENDIENTE. — 710 — 



y substituyendo ea la ecuación (1) y simplificando, se tiene: 



xdy ydx 



a^ ~ 62 ' 



ecuación en la cual las variables se separan inmediatamente. Se 

 tendrá, 



y x' 



de donde 



y''"^{'{x)'^\ (2) 



siendo y una constante que se determina expresando que la curva 

 buscada pasa por un punto dado. Así, por consiguiente, si se quiere 

 buscar, de entre las líneas de máxima pendiente, aquella que deba 

 pasar por el punto cuyas coordenadas sean 



íc = a, ?/ = O, x; = O, 

 se tendrá, substituyendo en la ecuación (2) 



de donde y = O, y por tanto, 



y 



= 0, 



que es la ecuación de la proyección horizontal de la línea buscada; 

 ó lo que es lo mismo, la linea de máxima pendiente es la elipse prin- 

 cipal situada en el plano de la s x. Es, por demás, evidente que esta 

 elipse corta en ángulo recto todas las curvas de nivel. 



En el caso de buscar la curva de máxima pendiente que pase por 

 un vértice situado sobre el eje de las 2, la ecuación (2) se reducirá 



para este punto á 



= 0, 



y queda y indeterminada. Así debe ser, en efecto , puesto que en di- 

 cho punto el plano tangente á la superficie es horizontal, y la curva 

 de nivel se reduce á un punto. Toda recta que pasa por este vértice, 

 y esté situada en el plano tangente, puede ser considerada como per- 

 pendicular á la línea de nivel, y, por consiguiente, como tangente 

 á una linea de máxima pendiente. 



