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so kennt man auch den Einfluß der dritten Dezi- 

 male auf das Resultat. 



1 000 



Anstatt aber lo "■'"'" oder )' lo zu berechnen, 



1024 



wählen wir ) lO; denn da 1024 = 2'" ist, so 

 läßt sich diese Wurzel durch Quadratwurzelziehen 

 berechnen ; und das eine Resultat wird vom anderen 

 nicht viel abweichen. Jedenfalls ergibt sich der 



10ä4 



Einfluß der dritten Stelle aus | 10 ebensogut wie 



lOoü 



aus j' 10 ■ 



Die Quadratwurzeln können dabei so gezogen 

 werden, daß jedesmal 3 Dezimalen genau und die 

 nächsten durch abgekürzte Division gefunden 

 werden nach folgendem Schema: 

 110=3,162278 

 100:61 

 3900:626 

 14400:6322 

 1756:6324 

 491 



48_ 

 Man erhält dadurch 



) 10,00000 ■=^ 3,162278 

 1 3,1622 78 = 1,778280 

 17778280= 1,333 522 



1/ 1,0746 08 = 1,036633 

 1' 1,036 63 3 = 1,018151 



1/1,018 151 r= 1,009034 

 1' 1^009034= 1,004507 

 11,004 507= 1,002250 



IU33522= 1,154782 

 11,154782 = 1,074608 



Also ist lo"'""' ungefähr gleich 1,002 und die 

 Vergrößerung der letzten Stelle eines dreistelligen 

 Logarithmus um I bedeutet die ISIultiplikation des 

 Numerus mit 1,002 oder die Addition von y/ff-j 

 des Wertes des Numerus. Ist also umgekehrt ein 

 Numerus bis auf etwa Yfj'Tnr seines Wertes genau, 

 so ist es auch der Logarithmus bis auf 3 Stellen. 

 — Dies bedeutet, daß z. B. die Logarithmen von 



2400 und 2401 sich in 3 Stellen nicht unter- 

 scheiden. [Fünfstellig hat man log 2400 = 3,38021 

 log 2401=3,38039.] Nun ist 2400 = 8-3- 100, 



2401 = 7*, also kann der dreistellige Logarithmus 

 von 7 dadurch gefunden werden, daß man mit den 

 Logarithmen von 2, 3 und 5 den von 2400 be- 

 rechnet, ihn gleich dem von 2401 setzt und dar- 

 aus den Logarithmus von 7 sucht, wie es unten 

 geschieht. 



IIL 



Um nun planmäßig die Potenzen der Prim- 

 zahlen zu suchen, die Potenzen von 10 nahezu 

 gleich sind, schreibe man zunächst eine größere 

 Reihe von Potenzen von 2 und 3 auf Die fol- 

 gende Tabelle enthält sie bis 2'*" und bis 3-'. 



etwa 66, die eine aber ist nur um 74 kleiner als 

 die andere. Wir wollen daher setzen 

 2^®=^ 10-3* oder 

 i61og2 = 81og3+ 1. 

 Ebenso können wir die Zahlen 10460353203 

 und 1048576-10^ für unseren Zweck einander 

 gleich setzen, so daß sich ergibt 

 20 log 2 =: 2 1 log 3 — 4. 

 Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir 

 176 log 2 ^53 und 176 log 3 = 84, also 

 log2 = i\\ = 0,30i 



log 3 = tV^ = 0,477- 

 Aus log 2 = 0,301 folgt ohne weiteres log 5 = 0,699. 



IV. 



Für die folgenden Primzahlen suche man Po- 

 tenzen, die bis auf einen Fehler von etwa yVött mit 

 Zahlen übereinstimmen, die durch schon behandelte 

 ausdrückbar sind. 



I\Ian findet 7^ ^ 2401 und 2400 = 2''-3 - lO"^, 

 also können wir setzen 



4 log 7 = 3 log 2 + log 3 + 2 



= 0,903 +0,477+2 = 3,380 

 log 7 = 0,845. 



ir''= 161051 wird gleich 161 000 oder 

 gleich 7-23-10^ gesetzt, 



23^ = 279841 gleich 280000 oder 2--7-io^ 

 Also ist 5 log II = log 7 + log 23 + 3 

 4 log 23 = 2 log 2 + log 7 + 4 

 20 log 1 1 = 5 log 7 + 2 log 2 + 16 

 = 4,225 -\- 0,602 + 16 

 = 20,827 

 log II = 1,041. 



13^=2197 wird gleich 2200 gesetzt. Man 

 hat 3 log 1 3 ^ log 2 + log 1 1 + 2 

 = 3.342 

 log 13= i,>i4- 



