N. F. III. Nr. 13 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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17-' r= 4913 kann gleich 4900 gesetzt werden; 

 dabei ist zwar der Fehler bei log ij'' etwas zu groß, 

 aber nicht bei log 17, wo er auf den dritten Teil 

 zurückgeht. 



3 log I7 = 2l0g7 + 2 

 = 3.690 

 log 17= 1,230. 



19*^130321 kann gleich 130000 gesetzt 



werden. 



4log 19 = 1,114 + 4 

 log 19= 1,279. 



Die folgende Tabelle gibt für die Primzahlen 

 unter 100 die benutzten Potenzen, die benutzten 

 Näherungswerte und die damit berechneten Loga- 

 rithmen. 



Daß die Reduzierung auf einen Näherungswert 

 in den angegebenen Grenzen auf die drei ersten 

 Stellen der Mantisse keinen Einflui3 hat, kann man 

 auch am Beispiel so zeigen. 

 Aus 9400 ^ 2 •47- 10'^ 

 9405 =5-9-ii-i9 



9408 ^ 3 • 49 • 64 statt 9409 erhält man stets 

 2 log 97 = 3,973. 



V. 



Kommt es nur darauf an, zu zeigen, wie etwa 

 eine dreistellige Logarithmentafel berechnet werden 

 kann, so genügt das in III und IV benutzte Ver- 

 fahren. Will man darauf hinweisen, wie eine be- 

 liebige Genauigkeit erzielt werden kann, so gehe 

 man folgendermaßen vor. 



Die Tabelle der Potenzen von 

 oio = 1024 



^ I 048 576 



= 1073741824 



= 1099 511 627776 



= 1125 899 906 842 624 



= I 152921 504606846976 



zeigt die Werte 



220 



.,30 



t')0 

 oüO 



2 '" := I 1 80 59 1 620 7 1 7 4 II 303 424 

 2"" =1208925819614629174706176 

 2«o = I 237940039285 38027489g 124224 

 2ioo-_ I 267650600228229401 496703 205 376. 

 Multipliziert man diese Zahlen mit 8, so findet 

 man 2"^ dicht vor einer Potenz von 10, 2'"* dicht 

 hinter einer solchen. Es ist 



2»-'< lo-s und 2l''3> io31. 

 Also ist 



TVj<l0g2<|| 

 0,30097 < log 2 < 0,30107. 



Bildet man die Quadrate, so findet man, daß 

 2iso<^ionö und 10-»« > lO«- ist. 



Da aber 2'"= 1024 ist, also das Produkt einer 

 Zahl mit 1024 sich von dem mit 1000 gebildeten 

 nur wenig unterscheidet, so muß auch 2'"" nahezu 

 gleich 10°" sein. 



Da 2^»« = (126 765...). (123794. ..)-64 

 = 1028 . . . ist, so findet man 



TV^<log2<H 



0,30102 << log 2 <; 0,30107. 



So kann man fortfahren und durch weiteres 

 Potenzieren log 2 in immer engere Grenzen ein- 

 schließen. 



Bei anderen Primzahlen erhält man ähnliche 

 Resultate. Zum Beispiel ist 



3'-'>ioi'' 3-ä<io" 



U<lo&3<H 

 0,47619 < log 3 < 0,47816. 



Also ist auch 3*->io-" und 3^''-< 10'-'. Da 



aber die ersten Stellen von 3^'- gleich 109418, 



und die von 3" gleich 887303 sind, so sind die 



ersten Stellen von 3" gleich 98477, und es ist 



3^->io-» 3^*<io-', also ist 



t^<Iog3<H 

 0,47619 < log 3 < 0,47727. 



1039 



und 71^ = 968 , also 



7i9> loi» 7^*< 10", oder 

 i^<log7<H 



0,84211 <Clog 7 <C 0,8461 5. 



VI. 



Auf die oben geschilderte Weise ist es möglich, 

 zunächst mit Beschränkung auf wenige Dezimal- 

 stellen und dann mit beliebiger Genauigkeit die 

 Logarithmen der Primzahlen zu berechnen. Es 

 bleibt noch übrig, ein Mittel anzugeben, wie man 

 das Suchen nach Potenzen der Primzahlen , die 

 einer Potenz von 10 benachbart sind, abkürzen 

 kann. Zu diesem Zweck stelle man die jetzt vor- 

 handenen Logarithmen durch Kettenbrüche dar. 



Zum Beispiel ist oben gefunden log 59 = i,77J- 

 Durch die folgende Divison 



erhält man 



