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Naturwissenschaftliche Wochensclirift. 



N. F. III. Nr. 13 



log 59=1 



1 + 



3 + - 



2 + 



H- 



1 + 



i-l- 



und daraus die Nährungswerte für den Bruch 



n 



T' 



3 7 



in 21 

 T7' ^5' 



3 7 



und für log 59 die Werte 



fi4 



1 Ol 

 TU' 



_■ 7 1 

 lüTilT' 



I 2 



T' T' 



16 2 3 fi2 

 "5 ' T"J' "36' 



il 



1 4 7 

 ?5 ' 



232 

 T71' 



17 7 1 

 TTlTi"iJ- 



Man hat 



10' 

 10' 



10' 



<S9 <io2 



<59* <io« 



•<59« <ioi 



io23<59>3<;io" 

 io*i-< 59''^<; 10"- usw. 



Hat man über den Logarithmus einer Zahl 

 gar keinen Anhalt, so bleibt nichts übrig, als eine 

 möglichst große Reihe von Potenzen aufzuschreiben 

 und daraus diejenigen zu bestimmen, die Potenzen 

 von 10 benachbart sind. \^erwandelt man die 

 Logarithmen der fünf- oder mehrstelligen Tafeln 

 in Kettenbrüche, so wird diese Arbeit sehr ge- 

 kürzt. Dabei zeigt sich aber, daß für die fort- 

 schreitende Genauigkeit nicht alle Näherungswerte 

 in Betracht kommen, die durch Potenzieren oder 

 Multiplizieren der ersten sich ergeben. Zum Bei- 

 spiel erhält man für log 2 aus der folgenden 

 Division 



100 000 



9691 



421 



45 



5 

 2 



die Näherungswerte 



Ol 3 2S 59 14R ,,c!„r 

 T' -5' TlT' -51' T9(I' 7^f "SW. 



Schon 1^1=0,30103 liefert den Logarithmus 

 auf 5 Stellen genau. Aus der Reihe 



11)3 \/Og 2 <^^^ 



fehle 



aber 



ÜTl 





(^V^<)TVü<l0g2<TVV 



z. B. die Beziehungen 



(ÄV <) TsVä < log 2 < ^V^ 



_ . . - _yIJ' die 

 zwar auch Grenzen für log 2 liefern, aber nicht 

 und Tpg\. 

 0,30102, ^!>/^ = 0,30107 

 0,30100, ^V5 = 0'30I04 

 MJ = 0,30102, ^^1 = 0,30105. 

 ^■"St iil <C log - <C ii'i liefert bessere Grenzen. 

 0,30101, 1^1=0,30103. 



bessere als ^^-^- 

 Denn tV'e = 



9 



1^5 ■ 



14 9 



ins 



Der Grund liegt in der Eigenschaft der Ketten- 

 biüche, stets mit den kleinsten Zahlen die ge- 

 nauesten Näherungswerte zu liefern. 



VII. 



Als Beispiel dafür, wie man an der Hand der 

 vorhandenen Tafeln die Logarithmen berechnen 

 kann, diene log 877. Die fünfstellige Tafel gibt 

 log ^77 = 2,94300 und man erhält dafür den Ketten- 

 bruch. 



log 877 = 2 -fi 



16 + 



5 + 



und die Näherungswerte 



3 5 

 T' TT' 



A3 

 18' 



103 56S 2943 



^5 ' TS'S' TUTnr- 



= 769(.ioä) 

 = 592(-io») 

 = 35o(.io^>) 



10^*) 



14 liefert die Beziehung 87^'^'^ 10^°. Man kann 

 also bei der Berechnung der Potenzen von 877 bis 

 zur I7ten beliebig viele auslassen. Darum rechnet 

 man 



wobei die einge- 

 klammerten Poten- 

 zen von 10 die An- 

 zahl der nicht aus- 

 geschriebenen Stel- 

 len durch die gleiche 

 Anzahl von Nullen 

 nachweisen. 



Aus den Ungleichungen 

 877''> 10'^" u. 877^*< I0-" erhält man durch 

 Potenzieren 



877^*>io>"» 8773«< lo'»" 

 877" > loi»" 877'-' < 10'»» usw. 

 Die erste führt auf den Zwischenwert Sjj^'', 

 die zweite auf 877°- und 877^'', die zu prüfen sind. 

 Man findet 877^^ = 1009 (• 10""), also 



877^ 

 877* 

 877« 



8771«= I22( 



877>' = io7(.io''ä)>io'^ 

 877»* = 942 (• I0'*''j < lO'* 



877^5-^ IQlOS 



877'- 



877 »^ 



i77'^''< io"8; ferner ist 

 877i'>io'»8 



877is<;ioi 



Folglich hat 



man 



^ = 2,941 18 < log 877 < 2,94444 = fl 

 V/ = 2,94286 < log 877 < 2,94444= V^6 

 V^/ ^ 2,94231 < log 877 < 2,94340 = V-j» 

 usw. 



Bestimmt man den Kettenbruch und die Nähe- 

 rungswerte mit einer siebenstelligen Tafel, so 

 bleiben die ersten Werte konstant, die anderen 

 ändern sich und führen auf andere Ungleichungen 

 zwischen Potenzen von 10 und dem Numerus. 

 Für die Berechnung der Logarithmen ist das aber 

 natürlich ganz gleichgültig. Die vorliegende Theorie 

 besagt, daß man unter den Potenzen des Numerus 

 zwei auswählt, die von unten und von oben an 



