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 »> Concevons, pour fixer les idées, que, 



étant une fonction finie, monodrorae et monogène de la variable a:, pour 

 un module de x — ^ inférieur à une certaine quantité positive x, on déve- 

 loppe, en luie série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes 

 de t, celle des racines de l'équation 



(3) x = E-{-tX., 



qui se réduit à ^ pour t =: o. En attribuant à t un module suffisamment 

 petit, on aura 



(4> x = è + tx-h — D^x.^ + -^irx' -+-..., 



^ ' - 1.2^ \ .1.6 ^ ' 



X devant être réduit à | dans le second membre de la formule (4), après 

 qu'on aura effectué les différentiations indiquées par la lettre caractéristi- 

 que D^; et la valeur de x^ ainsi déterminée, vérifiera l'équation (3), tant 

 que la série comprise dans la formule (4) sera convergente. Soit d'ailleurs 

 A le plus grand module que puisse acquérir la fonction X quand la diffé- 

 rence X — I acquiert le module x. En vertu du 4* théorème, le dévelop- 

 pement de X fourni par la formule (4) sera convergent, si l'on obtient une 

 série convergente en supposant, dans le second membre de cette for- 

 mule, t positif, en y remplaçant la fonction 3G par le produit 



A„=A(,-i=iy 



et en posant .r = | après les différentiations relatives à x. Or on aura, sous 

 cette condition, 



' \ X / "^ I .2. . .(n — i) 



et par suite, en remplaçant 3& par le produit Au dans la formule (4)? on 

 trouvera 



,f,, ^ . ' A=r' A';' , i.3...(2« — 3) 2"-'A"/" 



■ . ' ^ X X- 1.2... /? X*-' 



Mais, d'autre part, on a identiquement 



1.3... (an — 3) 



«-f--<' + -<»-t-...-t- — ■ -^... =1— Vi— ai; 



2 a 1.2... w 



