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 sixième degré en x, et posant 



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on sait, par les travaux de Gopel et de M. Rosenhain, que x + y et xy 

 s'expriment par des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont 

 des fonctions des arguments u et f , qui ont une valeur unique et finie pour 

 toutes les valeurs finies réelles ou imaginaires de ces arguments. Ces illustres 

 géomètres ont en même temps donné, sous une forme analogue, l'expres- 

 sion analytique de treize autres fonctions de m et t^ qui dépendent algébri- 

 quement, mais- d'une manière irrationnelle, des deux premières. Comme 

 elles sont aussi à sens unique pour toutes les valeurs finies des arguments, 

 il est impossible de ne pas les conserver dans le calcul, et le système com- 

 plet des quinze fonctions se présente dans l'étude des transcendantes abc- 

 liennes du premier ordre, comme sinamu, co%amu et Lamu dans la 

 théorie des transcendantes elliptiques. Je désignerai ces quinze fonctions par 

 y; (m, i*), ^(«, v\---i j\^{u^ y), et par J\u, v) l'une quelconque d'entre elles. 

 -Semblablement, je nommerai F, (m, i^), ^^{u^ f),---> F«5("» v) les fonctions 

 de même nature auxquelles on parviendrait en prenant pour point de départ 

 les équations 



(-) 



où a, p, 7, à sont des constantes et<i(X un polynôme du cinquième ou du 

 sixième degré en x. Maintenant je poserai, comme il suit, le problème de la 

 transformation des fonctions abéliennes du premier ordre : 



» Le polynôme (fX étant donné, déterminer les coefficients de ^x et les 

 constantes a, j3, y, <?, de telle sorte que les quinze fonctions F (m, v) puis- 

 sent s'exprimer rationnellement par les quinze fonctions /(«, v). 



» II. — On sait que les fonctions symétriques rationnelles de x et j, 

 définies comme fonctions de u et v par les équations (i), possèdent quatre 

 paires de périodes sinudtanées, et que ces périodes, ou au moins leurs 



