(a5, ) 



doubles, appartiennent aux quinze fonctions /^(u, f). Ainsi, en désignant 

 par les lettres w et u les indices simultanés de périodicité, on aura quatre 

 relations de cette forme 



/(m + Uo, v-{- Uo) =/(w, f), 

 /(m + «,, i' -l- u.) = /(a, p), 



J{U -f- Wj, C -f- Uj) = /(m, v), 

 / (« + «3, t» + U3) = /(m, C). 



Mais il existe entre ces périodes, telles qu'on les tire du calcul intégral, une 

 liaison exprimée par l'équation suivante : 



(3) «0^3 W3U0 + W, U2 Wj'J, = O. 



Et si l'on nomme û; et Y,- les quantités analogues à w, et u,-, dans les fonc- 

 tions F (m, v)^ on aura de même > - . ■ 



(4) ÛoYj-ÛjTCo + iî.Yï-Û^T, = 0. 



» Cela posé, si l'on demande que les fonctions F (m, v) s'expriment ra- 

 tionnellement par les fonctions y (m, t^), il faudra évidemment que les pé- 

 riodes simultanées w,- et u,- appartiennent à F, et soient, par suite, des sommes 

 de multiples entiers des périodes iî; et Y,-. On devra donc avoir ces relations 

 linéaires à coefficients entiers, savoir 



Uo = aoQ.0 + «, 0, + ^2^2 + «3 ^31 1^0 = «0^0 + «lî*! + tl^^i + ^3^3-, 



,w, = Z>otio + è,i2, -+-6ji^2 + Aaiîj, u, = boTo + bJ, +bj2-hb3l\, 



|m2 = C0Û0+ C,û, + Cjiia-h €3^3, V2 = Coïo + C,Y, + CjYg + C3Y,, 



3 = f/oi2o + c^, Û, 4- rfi,iÎ2 + d^ Û3, u, = doYo + dj, -+- d^Y^ -+- d^Y,. 



w 



Mais, à cause des relations (3) et (4), on voit que les nombres entiers qui 

 composent le système linéaire 



Uq ^i Û2 ds 



bo bi ij hi 



(6) 



Cq C| C2 O3 



do d, d, ds 



ne sont pas entièrement arbitraires. L'étude arithmétique des propriétés de 

 ces systèmes particuliers de seize lettres, qui vient ainsi s'offrir, a été le 

 point de départ de mes recherches et m'a donné les résultats suivants. 



