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 où l'on fait , pour abréger, 



_ Qa r, — n, Y s TT _ fl. Qi — Qi ^2 „,_ n, Y , — n, T, 



«oY, — fl.r.' ~ il, Yo — ii, Y, ' "ftoY, — fi,Y/ 



Cela posé, désignons par $ (x,^) la forme quadratique Gx + 2 H .r/ + G'/*, 

 et soit 



(8)e(x, 7) = ^i^""' ^ ' 



la sommation s'étendant à toutes les valeurs entières de m et«, depuis — qo 

 à + co . En attribuant aux quantités p, q, jx, v toutes les combinaisons 

 possibles des valeurs o et i , on obtiendra les seize fonctions par lesquelles 

 Gôpel et M. Rosenhain ont exprimé les numérateurs et le dénominateur 

 commun de £, [x, j), iFj (jt, j), ..., £„ [x, y). Ces fonctions, que nous 

 réunirons dans une même forme analytique, en gardant les quantités /j, 7, 

 fjt, V, vérifient, comme on le reconnaît très-facilement, les relations sui- 

 vantes : 



Q{x+\,jr) = {-iyQ[x,x), 



Q{x, jr+ i) = {-iy Q{x,y), 



e(a: + G, jr + H) = (- 0' e {x, j) e-'^^'^-^^'l 



Et réciproquement ces relations déterminent la série (8), sauf un facteur 

 constant ; qu'on suppose, en effet, 



on trouvera, en substituant, que les deux premières sont satisfaites, quel 

 que soit Am.n, et les deux dernières donneront, en égalant dans les deux 

 membres les coefficients des mêmes exponentielles, 



A;n,n -4-1 — — ^m,ni 

 A — A • 



d'où il suit bien que le coefficient A.„^„ est un facteur constant. 



M La forme que nous avons donnée à la série (8) met également en évi- 

 dence la relation : 



(to) e(a:,^)=e'"(^-^--^)+^'"^(^-")eo^j:+ '^^ + ;"'^^ J + ^^'^f'^ ^)- 



