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en conservant une valeur finie, cesse d'être une fonction monodrome et 

 monogène des variables T, X,Y, Z^.... 



» Si, pour plus de simplicité, on suppose T=i, alors, à la place du 

 3* théorème, on obtiendra la proposition suivante : 



» 4* Théorème. Représentons par 



X, Jr , Z, . . . ^ 



des fonctions de t, x\ j.,z.,. ., qui restent monodromes, monogènes et finies 

 dans le voisinage des valeurs t, ^, ïj, Ç,... attribuées à t, x, 'j, z,-.. ; et 

 concevons que l'on assujettisse x.,jr, z,... à la double condition de vérifier, 

 pour une valeur variable de t, les équations différentielles 



(0 D,x = X, D,j=F, D,z = Z,..., 



et de se réduire à |, /;, Ç,... pour < = t. Les inconnues x, j', z,... pourront 

 être développées, à l'aide des formules établies dans le Mémoire de 1 835, en 

 séries qui seront convergentes tant que le module de la différence t — r 

 n'atteindra pas une limite pour laquelle se vérifie l'une des équations 



(•2) -=0, - = 0, -=0,..., 



(3) ^=o, ^ = o, | = o,..., 



on bien encore une limite pour laquelle une des fonctions X, V, Z,. .., en 

 conservant une valeur finie, cesse d'être une fonction monodrome et mono- 

 gène des variables t, x., j., z, 



» Lorsque les inconnues a:, j", z,... se réduisent à une seule, alors le 

 2* théorème se réduit à la proposition suivante : 



5* Théorème. Soit Xun fonction des variables x et t, qui reste mono- 

 drome, monogène et finie, dans le voisinage des valeurs Ç et t attribuées à 

 ces variables ; et concevons que l'on assujettisse l'inconnue J? à la double 

 condition de vérifier, pour une valeur variable de /, l'équation différentielle 



(4) B,X=:X 



et de se réduire à ^ pour < =*t. L'inconnue x pourra être développée, à l'aide 

 des formules établies dans le Mémoire de i835, en une série qui sera con- 

 vergente, tant que le module de la différence t ~ r n'atteindra pas une limite 



