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 et l'équation plus générale 



(.2) J = ■;;/{u-a)"'-*{u-br-\ 



dans laquelle l'indice du radical est quelconque. 



» Ce sont là les seules conbinaisons favorables. Nous démontrons en ellet 

 qu'aucune autre ne satisfait aux relations qui doivent exister entre les expo- 

 sants et l'indice du radical pour que les fonctions intégrales soient mono- 

 dromes. 



» Après avoir trouvé les équations différentielles de la forme indiquée 

 qui donnent naissance à des fonctions monodromes, nous avons étudié les 

 fonctions inverses en suivant la méthode ingénieuse et féconde dont le prin- 

 cipe est dû à M. Cauchy, et qui a été employée avec succès par M. Puiseux 

 pour la détermination des valeurs multiples des intégrales définies, et nous 

 avons reconnu par ce moyen que les intégrales des onze premières équa- 

 tions sont des fonctions doublement périodiques. Les deux premières sont 

 connues depuis longtemps sous le nom de fonctions elliptiques, et ont acquis 

 une grande importance en mathématiques depuis les travaux célèbres 

 d'Abel et de Jacobi. 



» Les fonctions doublement périodiques, définies par ces onze équations, 

 se distinguent les unes des autres par quelques propriétés remarquables. On 

 sait que les fonctions définies par les équations (i) et (a) passent deux fois 

 par la même valeur et deviennent infinies deux fois dans chaque parallélo- 

 gramme des périodes; la première admet un infini double, la seconde deux 

 infinis simples. Les fonctions (3) et (4), produites par le radical cubique, 

 reprennent trois fois la même valeur et deviennent infinies trois fois dans 

 chaque parallélogramme des périodes; la première admet un infini triple, 

 la seconde trois infinis simples. Les trois fonctions fournies par le radical 

 du quatrième degré passent quatre fois par la même valeur et deviennent 

 infinies quatre fois dans chaque parallélogramme ; la première admet un 

 infini quadruple, la seconde deux infinis doubles, la troisième quatre infi- 

 nis simples. Enfin, les six fonctions données par le radical du sixième degré 

 reprennent six fois la même valeur et deviennent infinies six fois, dans 

 chaque parallélogramme des périodes; la première admet un infini sextu- 

 ple, la seconde deux infinis triples, la troisième trois infinis doubles, la 

 quatrième six infinis simples. 



» La fonction intégrale de l'équation (la) n'est pas périodique. Elle passe 



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