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 un système linéaire , dont les éléments sont des nombres entiers qui véri- 

 fient les équations 



a^d^ -+- boC, — Cob, — dga, = o, 

 Ood^-h boCi— Cob^ — doai = o, 

 aodg-\- boCa — Cobj — dga^^ k, 

 a, d^ + b,C2 — c, b^ — d^at — k, 

 a, df + è, Cj — c, bt — dt a^ = o, 

 «2 dt -h b^Ci — C2 bi — d^a3 = o. 



» Pour abréger l'écriture, représentons un instant par z,- la fonction 

 linéaire UiX + ïj j, i désignant l'un des nombres o, 1, a, 3, et posons 



(i2)e(zo + Gz, + Hz„z, + Hz, + G%)e'''"'''-^^'^'-^*('"''^^=n(:f,jr); 



on aura ce théorème : 



» La fonction II [x, y) satisfait à ces équations de même forme que les 

 équations (9), savoir: 



n(x+i, jr) = (-i)'"n(jr,j), 

 (i3) /n(j:, jr+i) = (-i)*n(jf, j), 



n[x + s, X + h) = {-x)^ n{x, f)e-''"^^'^'\ 



et si l'on représente, pour simplifier, les quantités aibj—ajbi, aiCj — ajCi,. 

 par {ab)ij, {ac)i/, etc., les valeurs de g , h, g' et de h" -- gg' seront 



_ [db\, + (rfé)3. G + 2(^Z.)o3 H + [db\,G' + (dh)„ (H'— GG' ) 

 ^ ~~(a6)., + (<7è)„G + 2(ai)o3H+(a*).,G' + (a6)«(H'-GG')' 

 , _ {ad),, + {ad),,G + 2{ad\,¥i + {ad)„G'+{ad)„{W—GQ.') ^ 

 ~(«6)„ + (flè)3,G+2(a6)„H+(aé).,G'+(a6)„(H=— GG' 



, _ (ac)„ + (flc),i G+ 2 (ac),3 H + (ac).» G'+ (oc)» (H'— GG') 

 S — [ab)„ +{db),,G + 7.{ab)„ H -H(û6)„G'+ (ai)« (H'- GG') ' 

 , _ , _ (cd)., +{cd)„G + 2{cd)„H+{cdUG'-i-{cd),,{W—GG' ) 

 SS — [ab)„ + {ab)„G + 2{ab)„B:-h(ab}„G' + [ab)»(W—GG'y 



