(367) 

 On aura enfin, pour les nombres entiers w, n, ^jj, <j, les expressions 



(i5) 



n = ixbo + vbt ■+■ pbs + 7^8 -+- bobf + iji„ 

 (j = p.ilo -hvcl, -+- pd^ + qd^-h dod, + d^d^. 



» Nous ajouterons comme corollaire à ce théorème , qu'en résolvant les 

 équations (i4)î pai" rapport à G, H, G', H" — GG', on obtient 



{cd)o 



(16) 



G = 

 ji 



{cd)n 



( cd)r, 



H* - GG' 



(cd)„ 

 (crf)oi 



+ 



(ed)r. 



ac)ng + 2(&c)ii,A -h (</6)„; 





«c )„§•-(- 2 {bc).,Ji -t- {db)^3g 



«cjHg-- 



2 (flc)j3/t 



2 (èc)„, A 



[db)ng 

 {'ib^.g 



ac)ng H- 7.{bc)nh + {db)^ g 



^(abU{h^-gg') 



+ (abU{h'-gg'y 

 + 1«*)3, (A^ - gg-') 



+ (^6)„, (A' - ggQ 



+ (a6)„(A=-gg'j 



» Les résultats que je viens d'énoncer mettent immédiatement en évi- 

 dence la méthode que j'ai suivie dans la question de la transformation. 

 Cette méthode, bien naturelle et bien simple, consiste à introduire le sys- 

 tème de seize fonctions 9, analogues à 0, mais dans lesquelles G, H, G' 

 auront été remplacés par g, h, g', puis à employer les relations (i3), pour 

 exprimer tl (x, j*) par des combinaisons entières et homogènes de ces 

 seize fonctions. En effet, on voit de suite que le facteur exponentiel 



e étant indépendant des quantités p, q, pi, v, dispa- 



raîtra dans le quotient de deux fonctions différentes II {x, r), qui corres- 

 pondent à deux systèmes distincts de valeurs de ces quantités. Or ces quo- 

 tients représenteront les quinze fonctions JF aux arguments Zo -I- GZ3 -f- Hz^, 

 z, ■+- Hzs -+- G' z-2 , exprimées rationnellement par les quinze quotients pro- 

 venant de la division de deux fonctions 6 (jr, y). Mais avant d'exposer cette 

 méthode, nous avons à approfondir la question suivante, qui mérite un 

 examen attentif. 



» VIII. — La fonction {x,j), étant seulement définie par la série 





e 



■ /t)x +.(2n-(- v)r) ■ 



1 TT * (i m -(- // , i n + ï), 



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