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 « Corollaire. Comme l'intégrale singulière 



X 



' dx 



X 



loin d'acquérir une valeur infiniment petite, est équivalente à 



1 H 



par conséquent infinie, l'intégrale (5) ne pourra généralement devenir infi- 

 niment petite que dans le cas où la supposition x=.- .entraînera la con- 

 dition " I 



(6) ' i = o. 



Cela posé, on pourra énoncer la proposition suivante : 



» 2® Théorème. Si l'on nomme X une fonction de x et de t, qui, tou- 

 jours monodrome et monogène, ne devienne jamais ni indéterminée, ni 

 infinie, pour des valeurs finies de x et de t; si d'ailleurs, pour une valeur 



finie de t, le rapport — ne s'évanouit pas avec - -, l'intégrale x de l'é- 

 quation 



sera une fonction sjnectique de t. 



» Corollaire. Si X est une fonction entière de x et i, cette fonction ne 

 pourra devenir infinie qu'avec les deux variables x, <, ou du moins avec 

 l'une d'entre elles. Donc alors, si, pour une valeur finie de la variable t, le 

 développement de l'intégrale x de l'équation 



\itX=X 



cesse d'être convergent, on aura tout à la fois, pour cette valeur finie de <, 



I X 



(7) i = 0' ^ = o- 



Mais ces deux dernières conditions s'excluront l'une l'autre, si X est in- 

 dépendant de JT, ou du premier degré en x, c'est-à-dire, si l'équation pro- 

 posée est linéaire et de la forme 



(8) D,a:=a:f(0-i-F(i), 



f (<), F(<) désignant deux fonctions entières de t. Donc, en vertu du 2* théo- 



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