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 dans laquelle f(.r, j) désigne une fonction toujours monodrome et mono- 

 gène dex etde j-. Supposons d'ailleurs que pour < = t, on doive avoir .r = |, 

 et en vertu de la formule (■j), j- = vj. A l'intégration de l'équation (6) on 

 pourra substituer avec avantage l'intégration simultanée de deux équations 

 différentielles 



(8) D,x=j, D,r = r, 



la valeur de frétant 



^y^ ^D,f(:c,r)' 



et les intégrales x, y étant assujetties à prendre, pour < = t, les valeurs 



particulières Ç, yj. Cela posé, l'aire S venant à s'étendre, les valeurs de <, pour 



lesquelles les intégrales x, y pourront cesser d'être des fonctions mono- 



dromes et monogènes de t, seront celles pour lesquelles se vérifiera l'une des 



formules 



(lo) •^ = ^ ^^V ^rf(^' ./) = «' 



ou bien encore la formule 



^ ^ D^f(:c,r) -ô' 



Soient t l'une de ces valeurs de <, et t une autre valeur très-voisine. Soient 



d'ailleurs x, y les valeurs de x et ^correspondantes à < = t, et posons, pour 

 abréger, 



(f2) < — t = Ô, ar — x = a, j — y = g; 



a, ê deviendront infiniment petits en même temps que ô, et en vertu de l'é- 

 quation (7), si a est un infiniment petit du premier ordre, ê sera un autre 

 infiniment petit dont l'ordre sera im nombre fractionnaire. Soit fi. cet ordre. 

 Pour que l'intégrale x ne cesse pas d'être une fonction monodrome et mo- 

 nogène de t, dans le voisinage de la valeur f attribuée à <, il sera néces- 

 saire et il suffira que ^ soit de l'une des formes 



« étant un nombre entier quelconque. 



» En appliquant ces principes au cas où {[x^y) est une fonction entière 

 des deux variables x^y, on déterminera généralement avec facilité les con- 



