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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la distinction et la représentation de* 

 fonctions continues et discontinues j par M. Augustin Cauchy. 



« Un moyen efficace d'accélérer les progrés des sciences mathématiques 

 est de perfectionner les notations. Il importe surtout que ces notations 

 soient claires, précises, et n'exposent jamais le lecteur à confondre entre 

 elles des quantités ou des fonctions complètement distinctes. Pour éviter cet 

 inconvénient, j'ai cru devoir, dans mon Analyse algébrique, publiée 

 eu 1821, restreindre le sens des notations dont on se servait pour exprimer 

 des logarithmes réels ou imaginaires, des puissances fractionnaires ou irra- 

 tionnelles, et les arcs correspondants à des lignes trigonométriques données. 

 Le parti que j'ai pris aloi's d'appliquer chacune de ces notations à une seule 

 fonction dont la valeur dépendait uniquement de la valeur attribuée à la 

 variable, a été généralement adopté par les géomètres. J'ai moi-même con- 

 stamment suivi cette règle depuis 1821. Seulement, dans mes derniers 

 ouvrages et Mémoires, j'ai, avec M. Bjœrling, étendu l'usage de chaque 

 notation, au cas même où la partie réelle- de la variable dont ime fonction 

 dépend est une quantité négative. 



» Toutefois, il importe de le remarquer, entre les propriétés dont jouis- 

 sent les diverses fonctions habituellement employées en analyse, l'une des 

 plus saillantes est la coiitinuité, telle que je l'ai définie dans l'ouvrage cité, 

 en nommant fonctions continues celles qui acquièrent des accroissements 

 infiniment petits pour des accroissements infiniment petits des variables 

 dont elles dépendent; et pour ce motif, il semblerait utile, suivant une 

 observation judicieuse de M. Hermite, d'appliquer les notations usitées, non 

 plus à des fonctions qui, uniquement dépendantes de la valeur attribuée à 

 une variable, deviennent discontinues quand cette variable dépasse cer- 

 taines limites, mais à des fonctions assujetties à varier avec elle par degrés 

 insensibles, par conséquent à des fonctions qui ne cesseraient jamais d'être 

 continues. 



» J'ai cherché à réunir les avantages que présentent l'une et l'autre mé- 

 thodes, et j'ai reconnu qu'on pouvait y parvenir à l'aide d'un procédé très- 

 simple. Ce procédé, qui multiplie les ressoiu-ces de l'analyse, consiste à 

 introduire simultanément dans le calcul deux espèces de fonctions, les 

 unes toujours continues, les autres continues seulement entre certaines 

 limites, mais uniquement dépendantes des valeurs attribuées aux variables. 

 Je me sers, pour exprimer ces dernières fonctions, des notations usuelles ; 



