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 le produit 2 7r(S)i représentera l'accroissement que prendra la fonction 

 1(— Z), tandis que l'arc s passera d'une valeur nulle à la valeur c; et, par 

 suite, si l'on suppose que, pour ,y = o, on ait précisément 



(9) Î(-Z) = -1(-Z), 

 on aura, pour s = c, 



(10) ï(- Z) = l(-Z) + 27r(S)i, 



la valeur de 1 ( — Z) étant la même dans les formules (9) et (10). Par suite 

 aussi l'accroissement que prendra la différence 



Î(-Z)-ÎZ, 



quand S passera d'une valeur nulle à la valeur c, sera le produit de asi par 

 la différence 



(S) -[S]. 



Mais de ces deux différences, la première évidemment devra se réduire à 

 l'accroissement que prendra 



quand le point mobile P aura décrit le contour entier de l'aire S, c'est-à-dire 

 à zéro, puisque 1 ( — i) sera indépendant de s. Donc la seconde différence 

 devra elle-même s'évanouir, et l'on aura 



(i.) [S] = (S). 



Ainsi, tandis que l'arc s passe d'une valeur nulle à la valeur c, la somme 



des indices de la fonction correspondants à des valeurs négatives de X 



coïncide avec la somme des indices correspondants à des valeurs positives 

 de X ; chacune de ces deux sommes est donc la moitié de la somme totale 



des indices de la fonction ~» ou, en d'autres termes, la moitié de son indice 



intégral. 



» Lorsqu'en considérant non plus des logarithmes, mais des puissances 

 fractionnaires ou irrationnelles, ou des arcs de cercle correspondants à des 

 lignes trigonométriques données, nous assujettirons ces diverses fonctions à 

 la loi de continuité, nous indiquerons encore cette circonstance à l'aide d'un 

 trait horizontal superposé à ces fonctions, en écrivant par exemple : 



uaiam \i(i>.tiiii ^'"^ arctangz, arcsinz, etc. 



