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MATHÉMATIQUES. — Sur la théorie de la transformation des Jonctions 

 abéliennes; par M. Ch. Hermite. (Suite : §§ IX, X et XI.) 



« IX. — En posant 



les seize fonctions dont l'existence se trouve démontrée par ce qui pré- 

 cède, seront représentées ainsi : ■ ' 



'"'1-t-"P i7r[(2nt-|- iiv)x+(an-t-H')j'] H-y i7ry(am-Hiu, un-^-l^), 



les nombres m, w, p, «^ étant, comme fx, v, p, q, égaux à zéro ou à l'unité. 

 Elles satisfont aux équations suivantes, entièrement semblables aux équa- 

 tions (9), et qui les définissent à un facteur constant près, savoir : 



6{x + i,j) = {-ire{x,j), e{x,j + i) = {-ire{x,j), 



e{x-hg, r+h) = (-1)1 e(j:,j)e-'""'*-^^). 



11 s'agit maintenant de les employer pour exprimer la fonction U{x, j)^ 

 que nous avons définie par les quatre relations (i3), § VII. A cet effet, je 

 remarquerai d'abord qu'ayant 



Il{x, j) = (d[x, x)e'''^''''-^'''^^^^'"'^^\ 

 on peut joindre à ces relations fondamentales la suivante ; 



n(-x, -j) = n(x,j)(-i)'"-'^ 



Or il est très-facile d'établir qu'en supposant k impair, on a 



pv -1- 9fA^<|5n-l- ()m (mod.a), 

 de sorte que nous pouvons écrire 



(,6) n(-a-, _^) = n(a.,j) (-.)''" + •'' 



m 



'> Cela posé, je fais abstraction de toute autre propriété de la fonction 

 n (jr, j), et ne gardant absolument que les relations (i3) et (16), je cherche 



