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 en premier lieu combien elles impliquent de constantes arbitraires dans la 

 fonction qu'elles servent à définir. 

 " Pour cela, soit 



n(x, r) = y f_i)1'"~'"'l^A g'>[(2'"-+->«)^4-(2/7-+- n)/]+py(2m+»n, 2«+n)_ 



On satisfera ainsi, quel que soit A,„_„, aux deux premières, 



ii{x + i,y) = {-ifxilx,j), n(x,jr + i) = (-i)«ïi(^,jr); 



quant aux deux suivantes, elles donneront, en comparant dans les deux 

 membres les coefficients des mêmes exponentielles, 



enfin on tirera de l'équation (16), cette dernière condition 



Or les équations (17) font voir que tous les coefficients A„_„ s'exprime- 

 ront par ceux où les indices sont moindres que A:, et qui sont en nombre 

 égal à A'*. Distinguons maintenant celui dont les indices vérifient les condi- 

 tions 



m^ — m — jj.^ n^ — n — V (mod. k), 



qui sont évidemment possibles, puisque le module est impair. 



» L'équation (18) sera alors une identité, et le coefficient dont nous par- 

 lons restera arbitraire; mais, en vertu de cette même relation, tous les 

 autres, qui sont au nombre de A' — i, seront égaux deux à deux. De là 

 nous tirons cette proposition : 



» L'expression la plus générale de la fonctionTl{x,y)quiestfiéfinie parles 



relations (f3) et (17), renferme coejficients entièrement indépendants. 



» X. — Les considérations précédentes sont également applicables à des 

 valeurs paires du nombre k. Soient par exemple, pour A: = 2, les relations 



(19) n (a: + i,jr) = n(a:,j), n{x,j + \) = n{x,jr), 



— aiTt (2r-l-g') 



n (j? + A,jr + g') = n (x, j) e 



— a I TT ( a x -H jf) 



n(x-+-g-,j-f- A) = n(x,j)e ; 



