( 4^9 ) 

 on trouvera, en posant 



ITZ 



JTT (2mx-i- 2n/)H ç! (m, n) 



les conditions 





Donc n (x, ^) est la somme de quatre séries déterminées, à savoir celles 

 qui se trouvent multipliées respectivement par les coefficients ko,o, Aq,/, 

 A,,o, ^t.i, qui restent seuls arbitraires. Or on satisfait évidemment aux 

 équations (19), en prenant pour n [x., j) le carré d'une quelconque des 

 fonctions 5 (a:, j). Donc ces carrés s'expriment linéairement par quatre 

 nouvelles fonctions, et de là se tire immédiatement la réduction algébrique 

 des seize fonctions Q, à quatre d'entre elles, prises arbitrairement. 



» XI. — En général, toutes les relations algébriques et différentielles des 

 fonctions Q peuvent être obtenues d'une manière analogue. Ici ce sont les 

 relations algébriques qu'il nous importe de considérer, et particulièrement 

 celles où entrent d'une manière homogène le plus petit nombre de fonc- 

 tions, et qui sont en même temps du degré le moins élevé. Telle est, par 

 exemple, l'équation mémorable du quatrième degré obtenue par Gopel (*) 

 entre P', S', P", S", qui se déduisent de l'expression générale de 9, en faisant : 



» Je vais encore établir l'existence de cette équation, et des autres du 

 même genre, qui ont aussi lieu entre quatre fonctions, car elles sont fonda- 

 mentales pour ce qui va suivre. 



» Soit, à cet effet. Il [x^jr) une fonction ainsi définie 



n(j7, jr+ i) = n(x,7), • 



^^^- ^ n[x + h,y + ^) = Xi[x,j)e-'^'-^^'^^'\ 



n{x + §,j + h) = n[x,y)e-^'^^"- 



-e) 



(*) Voyez, tome XXXV du Journal de M. Crelle, le Mémoire de l'illustre géomètre 

 Theoriœ franscendentium Abelianarum primi ordinis adumbratio levis, 



C. R., 182-, i" S'înifs'.re. (T. XL, N^ 8.) 56 



