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(les équations (i) seront toujours, non-seulement monodromes et mono- 

 gènes, mais encore finies ; en d'autres termes, oes intégrales seront des fonc- 

 tions synectiques de t. Cette conclusion est d'ailleurs facile à vérifier, puis- 

 qu'en intégrant les équations (i) o" trouve 



a; = /•cos(« — t), j=rsin(« — i), 

 r, T étant deux constantes arbitraires. 



» Lorsqu'une fonction z de / est toujours monodrome et monogène, on 

 peut en dire autant du rapport 



et même de la dérivée 



Dflz, 



n étant un nombre entier quelconque. Si cette dérivée se décompose en 

 deux parties u et v, toujours monodromes et monogènes, on pourra satis- 

 faire à l'équation ''îi ^ ^À^vti^iii» 'i u : l^f^'-.w. :-if; ^^■'^■\:<H,-\u, '- -. , 



(a) D,"îz = MH-p, 



en posant 



(3) 



r 

 — î 



(4) Di\j = u, \yi\x = v, 



et alors x, y seront encore monodromes et monogènes. Il y a plus : x, j 

 seront toujours finies, pour des valeurs finies de i, et se réduiront en consé- 

 quence à des fonctions synectiques de f, si les fonctions m, v restent finies, 

 la première quand on pose z = -> la seconde quand on pose z = o. Ce 

 principe fécond s'applique avec avantage à la discussion des intégrales des 

 équations différentielles. Il met en évidence leurs diverses propriétés, et 

 conduit, avec une grande facilité, à la représentation, sous forme frac- 

 tionnaire, des fonctions circulaires, elliptiques et abéliennes. Pour donner 

 une idée de ces applications, je me bornerai à deux exemples. 

 » Considérons d'abord la fonction circulaire 



(5) z=tang(«-T). 



Elle se confond avec l'intégrale z de l'équation différentielle 



(6) D,z=i + 2.S 



cette intégrale étant assujettie à s'évanouir avec la différence t — x. D'ail- 

 leurs, en vertu de la formule (6), z sera une fonction toujours monodrome 

 et monogène de «, sans être synectique, puisqu'à une valeur infinie de 



