{ 453 ) 

 r> Si l'on suppose, en particulier, 



k désignant une constante réelle ou imaginaire, on aura 



^=a, d4 = ÎD,5, 5^1_(, + P)+A»z- 



par suite, l'équation (ai) sera réduite à la formule 

 (a3) T)'î\z=-[ 



et les équations (4) aux deux formules 



+ /t='z* 



(a4) 



DMjr 



-. D;ïa = -/t* 



en vertu desquelles j, x seront deux fonctions synectiques de /, dont le 

 rapport représentera l'intégrale z de l'équation (g). Si d'ailleurs z s'éva- 

 nouit avec <, cette intégrale sera la fonction elliptique sin am «, dont l'une 

 des plus belles propriétés est celle que nous venons d'énoncer, et que 

 manifestent les formules (24)- 



» La conclusion à laquelle nous sommes parvenu pour l'intégrale de 

 l'équation (9), est précisément celle à laquelle M. Weyerstra^s est arrivé, 

 non-seulement pour les fonctions elliptiques, mais aussi pour les fonctions 

 abéliennes, dans un Mémoire que renferme le tome XIX du Journal de 

 M. làouville.Dans ce beau travail, l'auteur, rappelant deux autres Mémoires 

 composés par lui sur le même sujet, en 1 84o et 1 847, énonce le principe gé- 

 néral sur lequel s'appuie la décomposition de l'équation (3) en deux autres 

 de la forme (4), puis il indique la marche qu'il a suivie pour obtenir, sous 

 forme fractionnaire, lesfonctions abéliennes. Il ajoute que sa méthode, appli- 

 quée aux fonctions elliptiques, réduit sin am t k Xsl forme -■> jr e\. x étant 

 déterminés par les formules 

 (a5) D?ljr=-^, DUx = -k-^'-. 



» Autant que j'en puis juger, d'après les indications que donne 

 M. Weyerstrass, la principale différence entre sa méthode et celle que je 

 viens d'exposer consiste en ce que, dans l'une et dans l'autre, on arrive, 

 par des considérations différentes, à prouver que les intégrales^, x des 

 équations (aS) ou (a5) sont des fonctions synectiques de la variable t. » 



r. R., i855, i"Sem«*re. (T. XL, N" 9.) % 



