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 valeurs o, i, 2, 3, o« aura les relations suivantes 



(2.) 



n,(a: + 1 , j) = (- 1)'"' n, {^, jr), n.-(x, j+ .) = (- 1)"' n.-(^, j). 



n.-(-^-7) = (-if'n,.(ar,jr), 



^Mi jon^ analogues aux équations de définition de la fonctioji S,, savoir : 



e,{x+i,j) = (-1)"*' e,(x, jr), 9,(x,jr + ,) = (-if 9,(:r, y), 



5,(^+ A, 7 + g') = (-if 9,(x, j) r"'''^'"^\ 



9,-(-^- + g, J + /O = f-iy^*' Oii^.j) e~'"^"'^'\ 

 Q,{-a:,-j) = [-ifBi(x,j). 



» Je vais maintenant établir que les quatre fonctions lii[x, j) con- 

 tiennent, sous forme linéaire, un nombre égal à — — de coefficients indé- 

 pendants. Concevons, pour cela, qu'en employant l'équation homogène et 

 du quatrième degré, dont nous avons établi l'existence entre ô,,, S,, Q^, §3, 

 on élimine, dans ces fonctions, toutes les puissances de l'une des quan- 

 tités 5, de ^3 par exemple, qui surpasse la troisième. Cette réduction 



faite, toutes les expressions Q $ ^ . où l'exposant b ne surpasse pas 



3, seront linéairement indépendantes. Car s'il en était autrement, on au- 

 rait une seconde relation algébrique, homogène entre Q^, 5,, Sj, Q^, d'où 

 résulterait que les seize fonctions Q s'e'xprimeraient algébriquement par 

 deux seulement d'entre elles; et, par suite, que deux quelconques des quo- 

 tients quadruplement périodiques seraient fonctions algébriques l'un de 

 l'autre. Nous conclurons de là, qu'il existe précisément autant de coeffi- 

 cients arbitraires dans Yli[x, j) que de solutions distinct^, en nombres 

 entiers et positifs, des équations 



a H- ^ 4- c + î» = A-, l> + i>^£, c+b^i7 (mod. 2), 



lorsqu'on suppose successivement 



b = o, I, a, 3. 



» Or on trouve sans peine que le nombre de ces solutions est -^— ^ — ^ 



