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 Cela posé , il a été établi , § XI , que sur les quatre systèmes de quanti- 

 tés •»/, it,-, fi, <i,-, deux sont arbitraires. On pourra donc, en disposant seu- 

 lement de l'un deux , prendre par exemple : 



1110= w^|ut,a^ + va, + pUt -+■ qa^ ■+- aoU^ + a,a3 

 Mo = n ^iiho -\- vb, -i- pbi + qb^ 4- hob^ -f- b^b^ 



Po= p ^fXCo -I- VC, + pC2 + qc^ + C0C3 -+- C^ Ca 



I0 = (1 ^ [t-do + vd, -h pdi ■+- qdf ■+- dodj + d^ d^ 



(mod. 



et pour i = o faire ainsi coïncider les équations (21) avec les relations (i3) 

 et (16). Nous sommes amenés par là à cette proposition fondamentale de la 

 théorie de la transformation des transcendantes abéliennes du premierordre : 

 » La fonction 



n(x, jr) = e(zo + Gz, + Hz„ z, + Hz, -+- g'z,)^'''^'»^'-^''''^*''"''^^ 



aux modules G, H, G' peut être exprimée par une Jonction entière et homo- 

 gène, du degré k , des quatre fonctions B^{x, jr), Qf{x, jr), 02{x, jr)^ 

 Qiix^'jr) aux modules g, h, g', qui dépendent des premiers par les équa- 

 tions (i4)' 



» XIII. — Mais ce n'est pas une seulement des seize fonctions qui 

 s'exprime ainsi par Ôq, Ô,, §2, O3. En prenant en effet pour ïl{x, j) suc- 

 cessivement les quatre fonctions homogènes de ces quantités que nous 

 avons précédemment nommées ITo {oc^ j), II, [x, j)^ U^ [x^j), U3 {x, jr), 



et qui toutes renferment linéairement constantes arbitraires , on sa- 

 tisfera de la manière la plus générale aux équations (i 3) et (16) pour quatre 

 systèmes différents de valeurs des nombres pi, v, p, q. Et les valeurs de ces 

 nombres s'obtiendront en posant : 



»'j= fJi.«o + y «4 H- pa^ + qcii + (3o^3 + fli«j, 

 i^i ^ fX^o + V 6, -+- pb^ + qb^ -+- bob^+ b, b^, 

 P,- ^ fxt'o 4- vc, 4- pc^ -f- qcz -+- Co C3 -H C, C'a, 

 q,- ^ iido-h- vd,-i- pd^ -f- qd^ -+- dgd^-^ d, d^, 



suivant le module 2 Pour plus de clarté, je désigne par fx,, v,, pi, qi, celles 

 qui correspondent à n.,-, »,, p,-, i,-, et je fais .y, = v, /;, + [Xi f/, ; on trouvera alors 



