( 5oi ) 

 relation différentiée, donne d'abord ; 



dx^e {dj - -gjdsy 

 et l'équation [3], particularisée pour cette valeur de rfx, devient 



-^ = \ yC j ds. 



Sous cette forme elle est immédiatement intégrable, et en déterminant la 

 constante arbitraire par la condition que^ soit égal à H- 1 quand s est nul, 

 on en tire 



■[4] jr = e 



-f(J'-,).l. 



» Bessel rapporte cette expression de la densité comme étant la consé- 

 quence de la relation [i], ce qui montre qu'il a dû également l'en dériver 

 par l'équation de l'équilibre, en prenant la variable s dans la même acception 

 que nous lui avons attribuée. Mais, en introduisant j" comme une fonction 

 de s aussi complexe, dans l'équation différentielle générale de la réfraction 

 établie par Laplace au livre X de la Mécanique céleste, § 6, les intégrations 

 seraient inexécutables. Pour les faciliter Bessel simplifie l'expression de j. 

 Il développe, suivant les puissances ascendantes de s, l'exponentielle qui 

 s'y trouve en exposant, et s'arrétant à la première de ces puissances, il 

 obtient 



-0-i)T 

 (i) j = e 



ou, en faisant 



as 



s -^ 

 » Au point de vue purement analytique, cette déduction serait incorrecte. 



a 



~ s 



Le développement de e^ n'est légitime, du moins ne peut être restreint à 

 ses deux premiers termes, que si le produit - s est une très-petite fraction 

 de l'unité. Or, d'après la valeur que Bessel attribue ultérieurement à la 

 constante g, le rapport- est presque égal à 28. Cela exigerait donc que la 



variable s restât toujours individuellement très-petite dans les applications; 

 ce qui est loin d'avoir lieu, puisque Bessel y étend ses variations jusqu'à leur 



